[論文レビュー] Inclusion graph of subgroups of a group

P. Devi, R. Rajkumar|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2016

Finite Group Theory Research参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有限群の部分群の包含グラフを導入し、頂点を真部分群とし、一方の部分群が他方の部分群に含まれる場合に辺を結ぶものとする。本稿は、包含グラフが完全、二部、木、星、経路、サイクル、クラウドフリー、または非連結であるような有限群を分類し、有限アーベル群における平面性の条件を提示する。主な結果として、任意の非可解群の包含グラフはクラウド（$K_{1,3}$）を含み、閉路長（girth）が3であることが示されている。

ABSTRACT

For a finite group $G$, we define the inclusion graph of subgroups of $G$, denoted by $\mathcal I(G)$, is a graph having all the proper subgroups of $G$ as its vertices and two distinct vertices $H$ and $K$ in $\mathcal I(G)$ are adjacent if and only if either $H \subset K$ or $K \subset H$. In this paper, we classify the finite groups whose inclusion graph of subgroups is one of complete, bipartite, tree, star, path, cycle, disconnected, claw-free. Also we classify the finite abelian groups whose inclusion graph of subgroups is planar. For any given finite group, we estimate the clique number, chromatic number, girth of its inclusion graph of subgroups and for a finite abelian group, we estimate the diameter of its inclusion graph of subgroups. Among the other results, we show that some groups can be determined by their inclusion graph of subgroups

研究の動機と目的

• 有限群の部分群の包含グラフを定義・分析すること。ここで辺は部分群間の真包含関係を表す。
• 包含グラフが完全、二部、木、星、経路、サイクル、非連結、またはクラウドフリーであるような有限群を分類すること。
• どの有限アーベル群の包含グラフが平面的であるかを特定すること。
• 包含グラフのグラフ不変量（クリーク数、彩色数、閉路長、直径など）の推定を行うこと。
• 群がその包含グラフによって一意に特定可能かどうかを調査すること。

提案手法

• 有限群 $G$ のすべての真部分群を頂点とする包含グラフ $\mathcal{I}(G)$ を定義し、$H \subset K$ または $K \subset H$ である場合に $H$ と $K$ の間に辺を結ぶ。
• シローテーラム、部分群ラティス構造、有限単純群および最小単純群の分類といった群論的道具を用いる。
• クリーク数 $\omega(G)$、彩色数 $\chi(G)$、閉路長 $girth(G)$、直径 $diam(G)$、平面性といったグラフ論的概念を用いて $\mathcal{I}(G)$ を分析する。
• 同型不変性を活用：$G_1 \cong G_2$ ならば $\mathcal{I}(G_1) \cong \mathcal{I}(G_2)$ であるが、逆は成り立たない。
• 部分群の鎖と包含ラティスを用いて、$K_{1,3}$（クラウド）や $K_2 + \overline{K_3}$ といった部分グラフを特定し、閉路長や構造的性質を推論する。
• 最小単純群のトンプソン分類を用い、部分群・商群の性質を介して非可解群の結果を一般の非可解群へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの有限群の包含グラフが完全、二部、木、星、経路、サイクル、または非連結であるか？
• RQ2 どの有限アーベル群の包含グラフが平面的であるか？
• RQ3 一般の有限群 $G$ に対して、$\mathcal{I}(G)$ のクリーク数、彩色数、および閉路長はそれぞれいくらか？
• RQ4 有限アーベル群に対して、包含グラフの直径はいくらか？
• RQ5 有限群はその包含グラフによって一意に特定可能か？

主な発見

• 包含グラフ $\mathcal{I}(G)$ が完全であることは、$G$ が素数べき位数 $p^n$ で $n \leq 2$ の巡回群であることと同値である。
• 包含グラフが二部であることは、$G$ が最大クラスの $p$-群、または奇素数 $p$ に対して位数 $2p$ の二面体群であることと同値である。
• 包含グラフが木であることは、$G$ が素数べき位数 $p^n$ で $n \leq 2$ の巡回群であることと同値である。
• 包含グラフが星型であることは、$G$ がある素数 $p$ に対して位数 $p^2$ の巡回群であることと同値である。
• 包含グラフが経路であることは、$G$ がある素数 $p$ に対して位数 $p^3$ の巡回群であることと同値である。
• 任意の非可解有限群の包含グラフはクラウド（$K_{1,3}$）を含み、閉路長が3である。これは最小単純群と部分群の包含鎖を用いて示された。