[論文レビュー] Incoherent localized structures and hidden coherent solitons from the gravitational instability of the Schr\\"odinger-Poisson equation

Josselin Garnier, K. Baudin+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2021

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 100被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、重力不安定性下におけるシュレーディンガー＝ポアソン方程式において、非一様な局在構造と隠れた一様なソリトンの出現を調査する。一様なソリトンと非一様な波乱流の両者を連携する理論的枠組みを構築することで、非一様構造が有効な捕獲ポテンシャルを生成し、そうでなければ検出不能なソリトンを安定化させることを示した。数値シミュレーションにより検証され、コンactなスペクトル形状によって特徴づけられる。

ABSTRACT

The long-term behavior of a modulationally unstable conservative nonintegrable system is known to be characterized by the soliton turbulence self-organization process. We consider this problem in the presence of a long-range interaction in the framework of the Schr\\"odinger-Poisson (or Newton-Schr\\"odinger) equation accounting for the gravitational interaction. By increasing the amount of nonlinearity, the system self-organizes into a large-scale incoherent localized structure that contains "hidden" coherent soliton states: The solitons can hardly be identified in the usual spatial or spectral domains, while their existence is unveiled in the phase-space representation (spectrogram). We develop a theoretical approach that provides the coupled description of the coherent soliton component (governed by an effective Schr\\"odinger-Poisson equation) and of the incoherent component (governed by a wave turbulence Vlasov-Poisson equation). The theory shows that the incoherent structure introduces an effective trapping potential that stabilizes the hidden coherent soliton, a mechanism that we verify by direct numerical simulations. The theory characterizes the properties of the localized incoherent structure, such as its compactly supported spectral shape. It also clarifies the quantum-to-classical correspondence in the presence of gravitational interactions. This study is of potential interest for self-gravitating Boson models of fuzzy dark matter. Although we focus our paper on the Schr\\"odinger-Poisson equation, we show that our results are general for long-range wave systems characterized by an algebraic decay of the interacting potential. This work should stimulate nonlinear optics experiments in highly nonlocal nonlinear (thermal) media that mimic the long-range nature of gravitational interactions.

研究の動機と目的

• 長距離相互作用を有する、変調不安定性を示す保存的かつ非可積分系の長期的ダイナミクスを理解すること。
• シュレーディンガー＝ポアソン方程式における、非一様な局在構造が「隠れた」一様なソリトンを含む自己組織化を説明すること。
• 長距離重力相互作用を伴う状況下で、一様なソリトンダイナミクスと非一様な波乱流を結合する理論的枠組みを構築すること。
• 非一様構造がソリトンを安定化させる有効ポテンシャルとして果たす役割を明確にし、数値シミュレーションにより検証すること。
• 代数的減衰する相互作用を有する系における量子から古典への対応関係を確立すること。これは、フラクタル的暗黒物質モデルに関連する。

提案手法

• 位相空間分解を用いて、一様なソリトン成分の有効シュレーディンガー＝ポアソン方程式を導出する。
• 非一様成分の統計的波挙動を記述する波乱流Vlasov-Poisson方程式を構築する。
• 空間的またはスペクトル的領域では検出不能なソリトンを明らかにするために、スペクトログラムに基づく表現を導入する。
• 静的非一様構造を記述するため、Emden方程式を用いる。スペクトル形状はコンパクトに支持される。
• 静的解におけるエネルギーバランスを検証するために、バーヴァル定理を適用し、$2\mathcal{H}_l + \mathcal{H}_{nl} = 0$ を確認する。
• 質量および運動エネルギーの制約を用いて、シミュレーションの初期条件からパラメータをキャリブレーションし、$N_{st}(0)$, $p$, および $d_0$ を求める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シュレーディンガー＝ポアソン方程式における長距離相互作用は、波乱流の自己組織化およびソリトン形成にどのように影響するか？
• RQ2 なぜ一様なソリトンは空間的およびスペクトル的領域では隠れており、位相空間（スペクトログラム）表現では検出可能なのか？
• RQ3 非一様構造が有効な捕獲ポテンシャルとしてソリトンを安定化させる役割は何か？
• RQ4 非一様構造のコンパクトに支持されたスペクトル形状は、ソリトンダイナミクスにどのように影響するか？
• RQ5 本研究の結果は、相互作用ポテンシャルの代数的減衰を示す他の長距離波動系に対しても一般化可能か？

主な発見

• 非一様構造は、そうでなければ検出不能な隠れた一様なソリトンを安定化させる有効な捕獲ポテンシャルとして機能する。
• ソリトン成分は有効シュレーディンガー＝ポアソン方程式に従い、非一様成分は波乱流Vlasov-Poisson方程式に従う。
• 静的非一様構造はコンパクトに支持されたスペクトル形状を示し、その支持の半径は $k_c = \sqrt{\frac{2}{\alpha}}N_{st}(0)^{\frac{1}{2p}}\cdots$ で与えられる。
• バーヴァル定理が満たされ、静的解において $2\mathcal{H}_l + \mathcal{H}_{nl} = 0$ が確認され、エネルギーバランスが妥当であることが検証された。
• 振幅 $N_{st}(0)$ は、シミュレーション初期条件から $N_{st}(0) = \frac{\mathcal{M}}{L^3} \frac{F_{3,p}^5 (p+1)^3 c_3^3}{(12\pi F_{3,p+1})^3}$ を用いて決定され、$c_3 \simeq 3.17$ である。
• 結果は、相互作用ポテンシャルが代数的減衰を示す他の長距離波動系に対しても一般化可能であり、非局所的媒体における非線形光学への関連性を示唆する。