[論文レビュー] Incomplete Analytic Hierarchy Process with Minimum Weighted Ordinal Violations

Luca Faramondi, Gabriele Oliva+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2019

Multi-Criteria Decision Making参考文献 57被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、重み付き順序違反を最小化するという新しい2段階手法を、不完全な解析的階層的プロセス（AHP）に対して提案する。最初の段階では、重み付き満足度指数を用いて順序的一致性を最適化し、2番目の段階では順序制約下で対数最小二乗法を用いて基数的重みを計算する。本手法は実用的な十分条件のもとで一意な解を保証し、順序的好みの保存において最先端の手法を上回りつつ、基数的近似性能においても競争力を持つ。

ABSTRACT

Incomplete pairwise comparison matrices offer a natural way of expressing preferences in decision making processes. Although ordinal information is crucial, there is a bias in the literature: cardinal models dominate. Ordinal models usually yield non-unique solutions; therefore, an approach blending ordinal and cardinal information is needed. In this work, we consider two cascading problems: first, we compute ordinal preferences, maximizing an index that combines ordinal and cardinal information; then, we obtain a cardinal ranking by enforcing ordinal constraints. Notably, we provide a sufficient condition (that is likely to be satisfied in practical cases) for the first problem to admit a unique solution and we develop a provably polynomial-time algorithm to compute it. The effectiveness of the proposed method is analyzed and compared with respect to other approaches and criteria at the state of the art.

研究の動機と目的

• 基数的モデルが支配的で、順序的制約がしばしば無視されるAHP文献におけるアンバランスに対処し、好みの順序を破る解が生じることを防ぐ。
• 現実の意思決定において一般的に見られる不完全な対比較行列に埋め込まれた順序的好みを保存する手法を開発する。
• 現実的十分条件のもとで順序ランク付け問題に対する一意な解を保証し、安定性と再現可能性を確保する。
• 2つの最適化問題を段階的に組み合わせることで順序的および基数的情報を統合する：まず順序的満足度を最大化し、次に順序制約下で基数的重みを計算する。
• 最大違反数（MVs）や全偏差合計（TDs）といった指標を用いて、不一致度および密度の異なる状況下で、最先端の手法と本手法を比較評価する。

提案手法

• 大きな基数的値を持つ好みに高い重みを割り当てる、順序的一致性の度合を定量化する重み付き順序満足度指数（WOSI）を定式化する。
• 最初の段階で、WOSIを最大化する最適な順序ランク付けを求める混合整数線形計画問題（MILP）を解き、十分条件のもとで解が一意になることを保証する。
• 2番目の段階では、最初の段階で得られた順序ランク付けを制約として取り入れ、制約付き対数最小二乗法（LLS）問題を解き、基数的重みを計算する。
• 最初の段階問題を多項式時間アルゴリズムで解くことで、計算効率とスケーラビリティを確保する。
• 既知の要素のみを考慮することで、不完全な対比較行列に対して自然にスパースデータを処理する。
• 2段階フレームワークに統合する：(1) 重み付き違反最小化による順序最適化、(2) 順序的妥当性を満たす基数的ランク付け。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基数的データが乏しい状況下で、不完全な対比較から一意的かつ安定した順序ランク付けを計算できるか？
• RQ2 基数的ランク付け手法において、近似精度を損なわずに順序的好みを体系的に保存する方法は何か？
• RQ3 基数的好みの強さによって順序違反に重みを付けることで、全体の整合性にどのような影響を与えるか？
• RQ4 本手法は、ILLS、EV、IDLS、IWLSなどの既存手法と比較して、順序的および基数的性能の両面でどのように差をつけるか？
• RQ5 最初の段階の最適化問題が一意な解をもたらす条件は何か？

主な発見

• 提案手法であるILLS-MWOVは、全テストシナリオにおいて最大違反数（MVs）が最小であり、順序的好みの保存性に優れていることが示された。
• 曖昧なサイクルや高い不一致度を示すケースにおいて、MVsの観点でIDLS、EV、IWLSを上回った。
• 全偏差合計（TDs）の観点では、ILLSと同等の性能を示し、IDLSよりわずかに劣るが、EVやIWLSよりも顕著に優れており、優れた基数的近似品質を示した。
• MVとTDの両方の評価において、EVやIWLSを上回り、順序的および基数的忠実性のバランスの取れた優れたトレードオフを実現した。
• 実用的応用において成立する可能性の高い十分条件のもとで、最初の段階の最適化問題は一意な解を有することが保証された。
• シミュレーション結果から、密度ρ = 0.5および不一致度γの異なる状況でも、本手法は安定した性能を示し、多様なデータ条件下での信頼性を確認した。