[論文レビュー] Incomplete poly-Bernoulli numbers associated with incomplete Stirling numbers

Takao Komatsu, Kálmán Liptai+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2015

Advanced Mathematical Identities参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、制限付きおよび関連付きの第二種スターリング数を用いて不完全多ベルヌーイ数を導入し、古典的多ベルヌーイ数を一般化する。新たな母関数を導出し、リーマンゼータ関数の新たな無限級数表現をラマーチ・W関数を用いて確立する。この表現は、Re(μ) > 1 を満たす複素数 μ に対して有効であり、k = 0, -1 の分岐を用いる。

ABSTRACT

By using the associated and restricted Stirling numbers of the second kind, we give some generalizations of the poly-Bernoulli numbers. We also study their arithmetical and combinatorial properties. As an application, at the end of the paper we present a new infinite series representation of the Riemann zeta function via the Lambert $W$.

研究の動機と目的

• 制限付きおよび関連付きの第二種スターリング数を用いて、古典的多ベルヌーイ数を一般化すること。
• これらの一般化された数の解析的および組合的性質を構築すること。
• ラマーチ・W関数を用いて、リーマンゼータ関数の新たな無限級数表現を確立すること。
• 部分指数和 E_m(t) を用いて、多ベルヌーイ数の母関数枠組みを拡張すること。
• 非正の μ に対する不完全多ベルヌーイ数の整除性に関する性質を調査すること。

提案手法

• 制限付きおよび関連付きの第二種スターリング数を用いて、不完全多ベルヌーイ数 B_{n,≤m}^{(μ)} および B_{n,≥m}^{(μ)} を定義する。
• 多値対数関数 Li_μ および部分指数和 E_m(t) = ∑_{k=0}^m t^k / k! を含む母関数を導出する。
• 繰り返し積分表現を用いて、多ベルヌーイ数の母関数を一般化する。
• t = -W_k(-1) を代入することで、母関数とラマーチ・W関数との関係を確立する。
• 絶対値の制約のため、Re(μ) > 1 および k = 0, -1 のみで級数の収束を証明する。
• 素数を法とするスターリング数の既知の合同式を活用し、μ ≤ 0 の場合の整除性に関する性質を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多ベルヌーイ数は、制限付きおよび関連付きの第二種スターリング数を用いてどのように一般化できるか？
• RQ2 これらの一般化された不完全多ベルヌーイ数の解析的および組合的性質は何か？
• RQ3 ラマーチ・W関数を用いて、リーマンゼータ関数の新たな無限級数表現を導出できるか？
• RQ4 μ > 1 の場合に、E_m(t) を含む母関数の収束領域は何か？
• RQ5 リーマンゼータ関数 ζ(μ) の導出された級数において、どのラマーチ・W関数の分岐が有効な表現を与えるか？

主な発見

• B_{n,≤m}^{(μ)} の母関数は ∑_{n=0}^∞ B_{n,≤m}^{(μ)} t^n / n! = Li_μ(1 - E_m(-t)) / (1 - E_m(-t)) に等しい。
• B_{n,≥m}^{(μ)} の母関数は ∑_{n=0}^∞ B_{n,≥m}^{(μ)} t^n / n! = Li_μ(E_{m-1}(-t) - e^{-t}) / (E_{m-1}(-t) - e^{-t}) に等しい。
• μ = 1 の場合、これらの母関数は制限付きおよび関連付きベルヌーイ数の既知の表現に簡約される。
• リーマンゼータ関数は、ζ(μ) = ∑_{n=0}^∞ B_{n,≥2}^{(μ)} (W_k(-1))^n / n! という級数表現を持つ。ただし μ は Re(μ) > 1 を満たし、k = 0, -1 である。
• W_0(-1) および W_{-1}(-1) の複素共役対称性のおかげで、複素数項を含んでも級数は実数値 ζ(μ) に収束する。
• μ ≤ 0 の場合、任意の素数 p に対して B_{p,≤m}^{(μ)} ≡ 0 mod p および B_{p,≥m}^{(μ)} ≡ 2^{|μ|} mod p が成り立つ。