[論文レビュー] Incompressibility and spectral gaps of random circuits

Chi-Fang Chen, Jeongwan Haah+4 more|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2024

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ランダムな可逆的および量子回路のタイトなスペクトルギャップを確立し、それらの混合速度が回路の深さに依存せず指数的時間まで一定であることを証明している。ランダムな量子回路が O(n⁴t) ゲートを用いることで、t ≤ Θ(2ⁿ/²) の範囲で乗法的誤差 t-デザインを形成することを示しており、回路の複雑さは指数的時間にわたり線形に増加する。これは、ロバストなブラウン＝サスキンド予想を解決し、ランダム回路の圧縮不能性を確立する。

ABSTRACT

Random reversible and quantum circuits form random walks on the alternating group $\mathrm{Alt}(2^n)$ and unitary group $\mathrm{SU}(2^n)$, respectively. Known bounds on the spectral gap for the $t$-th moment of these random walks have inverse-polynomial dependence in both $n$ and $t$. We prove that the gap for random reversible circuits is $Ω(n^{-3})$ for all $t\geq 1$, and the gap for random quantum circuits is $Ω(n^{-3})$ for $t \leq Θ(2^{n/2})$. These gaps are independent of $t$ in the respective regimes. We can further improve both gaps to $n^{-1}/\mathrm{polylog}(n, t)$ for $t\leq 2^{Θ(n)}$, which is tight up to polylog factors. Our spectral gap results have a number of consequences: 1) Random reversible circuits with $\mathcal{O}(n^4 t)$ gates form multiplicative-error $t$-wise independent (even) permutations for all $t\geq 1$; for $t \leq Θ(2^{n/6.1})$, we show that $ ilde{\mathcal{O}}(n^2 t)$ gates suffice. 2) Random quantum circuits with $\mathcal{O}(n^4 t)$ gates form multiplicative-error unitary $t$-designs for $t \leq Θ(2^{n/2})$; for $t\leq Θ(2^{2n/5})$, we show that $ ilde{\mathcal{O}}(n^2t)$ gates suffice. 3) The robust quantum circuit complexity of random circuits grows linearly for an exponentially long time, proving the robust Brown--Susskind conjecture [BS18,BCHJ+21]. Our spectral gap bounds are proven by reducing random quantum circuits to a more structured walk: a modification of the ``$\mathrm{PFC}$ ensemble'' from [MPSY24] together with an expander on the alternating group due to Kassabov [Kas07a], for which we give an efficient implementation using reversible circuits. In our reduction, we approximate the structured walk with local random circuits without losing the gap, which uses tools from the study of frustration-free Hamiltonians.

研究の動機と目的

• nキュービットまたはビットのランダムな可逆的および量子回路に対して、tに依存しないタイトなスペクトルギャップの境界を確立すること。
• ランダム回路が乗法的誤差を伴う近似t-デザインを形成することを証明し、それが一様分布への収束を定量化すること。
• ランダム回路の量子回路複雑度が指数的時間にわたり線形に増加することを示すことにより、ロバストなブラウン＝サスキンド予想を解決すること。
• ランダム回路が圧縮不能であること、つまりその複雑さがゲート数に比例して増加することを示すこと。

提案手法

• 修正されたPFC集合とカサボフの交代群上の拡散体を用いて、ランダムな量子回路を構造化されたウォークに還元する。
• 非フラストレーション系ハミルトニアンの道具を用い、局所的なランダム回路に近似することでスペクトルギャップを損なわずに近似する。
• カジダン定数とモーメント作用素解析を用いて、本質的ノルムを評価し、スペクトルギャップを導出する。
• カサボフの生成子と有界生成技術を用いて、交代群 Alt(2ⁿ) を生成する効率的な可逆的回路を構築する。
• 多項式補間と重なり定理を用いて、高精度な状態準備の確率を評価する。
• ネットの議論とトレースノルム推定を用いて、近似t-デザインの性質から回路複雑度の下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムな可逆的回路のスペクトルギャップは何か？ そして、すべての t ≥ 1 に対して、回路の深さに依存せずに有界のまま保たれるか？
• RQ2 ランダムな量子回路は、nの指数関数的まで t をとれる乗法的誤差ユニタリ t-デザインを形成できるか？ そのために必要なゲート数は何か？
• RQ3 ランダム回路のロバストな量子回路複雑度は、指数的時間にわたりゲート数に比例して線形に増加するか？ これによりロバストなブラウン＝サスキンド予想が確認されるか？
• RQ4 ランダム回路のスペクトルギャップは t に依存せず有界に保たれるか？ そして、これは t-デザインの形成能力とどのように関係するか？
• RQ5 O(n⁴t) ゲートを用いたランダム量子回路は、t ≤ Θ(2ⁿ/²) の範囲で乗法的誤差 t-デザインを形成するのに十分か？ そして、これは ˜O(n²t) に改善可能か？

主な発見

• すべての t ≥ 1 に対して、ランダムな可逆的回路のスペクトルギャップは Ω(n⁻³) である。これは t に依存しない。
• t ≤ Θ(2ⁿ/²) の範囲で、ランダムな量子回路のスペクトルギャップも Ω(n⁻³) であり、t に依存しない。
• O(n⁴t) ゲートを用いたランダムな可逆的回路は、すべての t ≥ 1 に対して乗法的誤差 t-独立置換を形成する。t ≤ Θ(2ⁿ/⁶.¹) の範囲では、˜O(n²t) ゲートで十分である。
• O(n⁴t) ゲートを用いたランダムな量子回路は、t ≤ Θ(2ⁿ/²) の範囲で乗法的誤差ユニタリ t-デザインを形成する。t ≤ Θ(2²ⁿ/⁵) の範囲では、˜O(n²t) ゲートで十分である。
• ランダムな量子回路のロバストな量子回路複雑度は、ゲート数 L に比例して線形に増加する。L ≤ O(2ⁿ/²) の範囲で、高確率に CQ,𝛿(U|0ⁿ⟩) ≥ Ω(L/n⁴) を満たす。
• ロバストなブラウン＝サスキンド予想は解決された：ランダムな量子回路は圧縮不能であり、指数的時間にわたり複雑度が線形に増加する。