[論文レビュー] Incompressible limit of the compressible non-isentropic magnetohydrodynamic equations with zero magnetic diffusivity

Song Jiang, Qiangchang Ju+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2011

Navier-Stokes equation solutions参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、一般の初期データに対して、$[\mathbb{R}^d$ ($d=2,3$) 上で、磁気拡散率がゼロである圧縮性非等エントロピー磁気流体力学（MHD）方程式の非圧縮極限を確立する。マッハ数 $\em>\epsilon$ に依存しない一様な事前推定を導出し、$\em>\epsilon$ に一様な時間区間上で解の存在を示すことにより、$\em>\epsilon \to 0$ のとき、解が非圧縮MHD系に収束することを示している。収束には、極限系の構造とエントロピーおよび磁場の役割が含まれる。

ABSTRACT

We study the incompressible limit of the compressible non-isentropic magnetohydrodynamic equations with zero magnetic diffusivity and general initial data in the whole space $\mathbb{R}^d$ $(d=2,3)$. We first establish the existence of classic solutions on a time interval independent of the Mach number. Then, by deriving uniform a priori estimates, we obtain the convergence of the solution to that of the incompressible magnetohydrodynamic equations as the Mach number tends to zero.

研究の動機と目的

• 圧縮性非等エントロピーMHD方程式の非圧縮極限を、$[\mathbb{R}^d$ ($d=2,3$) 上で、磁気拡散率がゼロである場合に分析すること。
• マッハ数 $\em>\epsilon$ に依存しない時間区間上で古典解の存在を確立すること。
• マッハ数 $\em>\epsilon$ に依存しない、ソボレフ空間における一様な事前推定を導出すること。
• 一般の初期データ条件下で、$\em>\epsilon \to 0$ のとき、圧縮性MHD解が非圧縮MHD解に収束することを証明すること。
• 極限系の構造を特定すること。これには、エントロピー、磁場、および非圧縮状態における速度の役割が含まれる。

提案手法

• 圧縮性MHD方程式をスケーリングするために、次元なしのマッハ数 $\em>\epsilon$ を導入し、$\em>\epsilon \to 0$ の極限を調べる。
• 状態変数としてエントロピー $S$ と圧力 $p$ を用い、状態方程式 $\rho = R(S,p)$、$\theta = \Theta(S,p)$ を仮定し、$\partial R/\partial p > 0$ を仮定する。
• 内部エネルギー方程式 (1.8) とエントロピー方程式 (1.10) を $\kappa = 0$ の下で、$S$、$p$、速度 $\mathbf{u}$、磁場 $\mathbf{H}$ を用いて系を再定式化する。
• 運動量方程式とエネルギー方程式に対して、$q = p - p_0$ と $\mathbf{u}$ を用いて変数変換を施し、$p_0$ を基準圧力と定義する。
• 磁気拡散項を用いて $\mathbf{H}^\epsilon$ 項を制御することにより、$\em>\epsilon$ に依存しない時間区間 $[0,T]$ 上で、解 $(S^\epsilon, q^\epsilon, \mathbf{u}^\epsilon, \mathbf{H}^\epsilon)$ に対する一様 $H^s$ 推定を導出する。
• 弱収束および強収束（$L^\infty(0,T;H^s)$ および $L^2(0,T;H^{s'})$ 内）を用いて、極限 $(\bar{S}, 0, \mathbf{v}, \bar{\mathbf{H}})$ が非圧縮MHD系 (5.14)–(5.17) の解であることを同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マッハ数がゼロに近づくとき、磁気拡散率がゼロである圧縮性非等エントロピーMHD方程式の解は、非圧縮MHD系の解に収束するか？
• RQ2 一般の初期データに対して、マッハ数 $\em>\epsilon$ に依存しない時間区間上で、古典解を構成できるか？
• RQ3 マッハ数 $\em>\epsilon$ に依存しない、ソボレフ空間における一様な事前推定とは何か？
• RQ4 エントロピー $S$ および磁場 $\mathbf{H}$ は非圧縮極限においてどのように振る舞い、初期データの減衰性質が果たす役割は何か？
• RQ5 極限系の正確な構造は何か？また、極限において速度場 $\mathbf{v}$ は初期データからどのように決定されるか？

主な発見

• 任意の $M_0 > 0$ に対して、時間 $T = T(M_0)$ が存在し、圧縮性MHD系のコーシー問題は、$C^0([0,T], H^s(\mathbb{R}^d))$ 内に一意の解をもち、すべての $\epsilon \in (0,1]$ に対して $\|\cdot\|_{H^s} \leq N(M_0)$ を満たす。
• 解 $(S^\epsilon, q^\epsilon, \mathbf{u}^\epsilon, \mathbf{H}^\epsilon)$ は、$L^\infty(0,T; H^s(\mathbb{R}^d))$ 内で弱収束し、$L^2(0,T; H^{s'}_{\text{loc}}(\mathbb{R}^d))$ 内で強収束する。収束先は $(\bar{S}, 0, \mathbf{v}, \bar{\mathbf{H}})$ である。
• 極限 $(\bar{S}, \mathbf{v}, \bar{\mathbf{H}})$ は非圧縮MHD系 (5.14)–(5.17) を満たし、$\text{div}\,\mathbf{v} = 0$、$\text{div}\,\bar{\mathbf{H}} = 0$、および $\partial_t \bar{S} + (\mathbf{v} \cdot \nabla)\bar{S} = 0$ を満たす。
• 速度 $\mathbf{v}$ は初期データ $\mathbf{v}_0$ から、条件 $\text{div}\,\mathbf{w}_0 = 0$ および $\text{curl}(r(S_0,0)\mathbf{w}_0) = \text{curl}(r(S_0,0)\mathbf{v}_0)$ を用いて決定される。ここで $r(S_0,0) = \lim_{\epsilon \to 0} r^\epsilon(S^\epsilon_0, 0)$ である。
• 圧力勾配 $\nabla \hat{\pi}$ は $C([0,T], H^{s-1}(\mathbb{R}^d))$ に属し、極限圧力の正則性を保証する。