[論文レビュー] Inconsistency of Primitive Recursive Arithmetic

Edward Nelson|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2015

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、Perlベースのチェックシステムを備えた計算的フレームワークであるNelsonのqea証明システムを用いて、原始再帰的算術（PRA）の不整合性に関する形式的証明を提示する。証明は文法的操作と等価置換を用いて、ある命題とその否定の両方を導出し、最終的に'QEA'とラベル付けされた形式的矛盾に至ることでPRAにおける矛盾を示している。

ABSTRACT

The aim of this work is to show that contemporary mathematics, including Peano arithmetic, is inconsistent, to construct firm foundations for mathematics, and to begin building on these foundations.

研究の動機と目的

• 原始再帰的算術（PRA）の整合性を形式的証明システムを用いて調査すること。
• NelsonのBalrogシステムにおける定理13iの証明を自動拡張により正しさを検証すること。
• 等価置換と推論規則を用いて、PRAにおいてある命題とその否定の両方を導出することにより、不整合を示すこと。
• qeaシステムを用いて証明の論理的構造を検証し、正しさを確認するとともに、拡張された証明形式を生成すること。
• PRAにおける整合性に関する基礎的議論に貢献し、PRAにおける形式的不整合を露呈すること。

提案手法

• qea証明システムはTeX形式でエンコードされた証明ソースを解析し、事前に定義された推論規則を用いて各ステップを検証する。
• 特殊ケースや事前に確立された結果（例：0+x = x+0、x+0 = x）が証明における前提として用いられる。
• 等価置換が適用され、方程式内の項の置換により新しい命題が導出される。赤色で強調されたテキストは置換の位置を示している。
• 推論ステップは番号付き参照により連結され、各新しい行は以前の行と論理的規則に依存する。
• 証明は文法的操作を用いて、ある命題とその否定の両方を導出し、矛盾に至る。
• 最終行の'QEA'は、矛盾の検出を示し、不整合性の確認を意味する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 qea証明システムは原始再帰的算術における不整合性を検出できるか？
• RQ2 NelsonのBalrogシステムにおける定理13iの証明は形式的矛盾に至るか？
• RQ3 PRAにおける等価置換と推論規則は、ある命題とその否定の両方を生成できるか？
• RQ4 qeaシステムの検証において、PRAにおける不整合の主張は論理的に妥当か？
• RQ5 自動証明拡張は、基礎的体系における論理的欠陥をどのように露呈するか？

主な発見

• 証明は'S'(x+0) = 0+'S'x およびその否定の両方を導出し、矛盾に至る。
• システムは¬'S'(x+0) = 0+'S'x および 'S'(x+0) = 0+'S'x の両方の導出を通じて矛盾を特定する。
• この矛盾は、以前の公理および補題に基づく等価置換と推論ステップの組み合わせによって生じる。
• qeaシステムは最終的な矛盾を'QEA'とラベル付けすることで、不整合性を確認する。
• 証明は、定理の否定を仮定するとPRAにおいて論理的不整合が生じることを示している。
• 拡張された証明は、システムの推論規則が互いに排他的な命題を生成することを明らかにし、PRAの整合性を無効にしている。