[論文レビュー] Incorporating fat tails in financial models using entropic divergence measures

Santanu S. Dey, Sandeep Juneja|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2012

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 26被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、肥大尾分布下で既存のエントロピーに基づく手法が失敗するのを回避するため、ファイナンスモデリングにおいてI発散度の代わりに多項式発散度（Tsallis や Rényi エントロピーに同等）を提案する。多項式発散度のもとで解の存在および一意性を確立することで、資産リターンに重たい尾を持つ場合でも、ロバストなキャリブレーションおよびポートフォリオ最適化が可能になる。

ABSTRACT

In the existing financial literature, entropy based ideas have been proposed in portfolio optimization, in model calibration for options pricing as well as in ascertaining a pricing measure in incomplete markets. The abstracted problem corresponds to finding a probability measure that minimizes the relative entropy (also called $I$-divergence) with respect to a known measure while it satisfies certain moment constraints on functions of underlying assets. In this paper, we show that under $I$-divergence, the optimal solution may not exist when the underlying assets have fat tailed distributions, ubiquitous in financial practice. We note that this drawback may be corrected if `polynomial-divergence' is used. This divergence can be seen to be equivalent to the well known (relative) Tsallis or (relative) Renyi entropy. We discuss existence and uniqueness issues related to this new optimization problem as well as the nature of the optimal solution under different objectives. We also identify the optimal solution structure under $I$-divergence as well as polynomial-divergence when the associated constraints include those on marginal distribution of functions of underlying assets. These results are applied to a simple problem of model calibration to options prices as well as to portfolio modeling in Markowitz framework, where we note that a reasonable view that a particular portfolio of assets has heavy tailed losses may lead to fatter and more reasonable tail distributions of all assets.

研究の動機と目的

• 肥大尾分布下で最適解が存在しないことがあるI発散度によるファイナンスリターンのモデリングの失敗を是正すること。
• 重たい尾を持つ分布下でも解の存在および一意性を保つI発散度の代替として、ロバストな手法を開発すること。
• マージナル分布の制約（基礎資産の関数のマージナル分布仕様）を含む一般の制約を扱えるように、エントロピーに基づく手法を拡張すること。
• 専門家の見解（例：ポートフォリオが肥大尾を持つ損失をとる）をファイナンスモデルに組み込むためのフレームワークを提供すること。
• 実用的問題への応用として、オプションプライシングのキャリブレーションおよび現実的な尾の挙動を想定したMarkowitzポートフォリオ最適化に本手法を適用すること。

提案手法

• I発散度の代わりに、$ D_p(f||g) = \frac{1}{p-1} \left( \int f(x)^p g(x)^{1-p} dx - 1 \right) $ で定義される多項式発散度を採用し、これは相対的TsallisまたはRényiエントロピーに相当する。
• 最適化問題を、事前測度 $ g $ からの多項式発散度の最小化として定式化し、モーメント制約およびマージナル分布制約を課す。
• ラグランジュ双対性を用いて最適密度の解析的形を導出し、多項式発散度のもとで指数型分布族の形をとることを示す。
• 事前密度 $ g $ の可積分性および尾の挙動に関する技術的条件のもとで、解の存在および一意性を確立する。
• 2つの主要なファイナンス問題への応用：オプションプライスに適合するリスク中立的測度のキャリブレーション、および専門家の見解に基づくポートフォリオ分布の更新。
• 測度の変更および変換技術を用いて、特に条件付き密度およびマージナル分布における尾の挙動を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ファイナンスモデルにおける肥大尾分布下で、I発散度最小化がどのような条件下で失敗するか。
• RQ2 多項式発散度が、肥大尾を持つ分布下でも最適測度の存在および一意性を保証するためにI発散度に代わって使用可能か。
• RQ3 資産の関数のマージナル分布が制約される場合、多項式発散度のもとでの最適解はI発散度のもとでの解とどのように異なるか。
• RQ4 ポートフォリオの損失分布に肥大尾の見解を組み込むと、個々の資産の分布の尾の挙動にどのような影響を与えるか。
• RQ5 提案手法が、現実的な肥大尾仮定のもとで、オプションプライシングのキャリブレーションおよびMarkowitzポートフォリオ最適化に効果的に適用可能か。

主な発見

• 基礎資産が肥大尾を持つ場合、特に原点の近傍でモーメント母関数が存在しない場合、I発散度のもとでの最適解が存在しないことがある。
• 多項式発散度は、事前分布に重たい尾がある場合でも、きわめて弱い技術的条件のもとで最適測度の存在および一意性を保証する。
• 多項式発散度のもとでの最適密度は、$ \tilde{f}(y|x) \propto \exp\left( -\frac{1}{2}(y - \tilde{\mu}_{y|x})^T \Sigma_{y|x}^{-1} (y - \tilde{\mu}_{y|x}) \right) $ の形を取り、修正された平均および共分散構造をとる。
• ポートフォリオが肥大尾を持つ損失分布（例：スチューデントt分布）をとると仮定すると、個々の資産の事後分布はI発散度の場合よりも尾が重くなる。
• 多項式発散度フレームワークのもとで、$ Y_1 $ のマージナル分布の尾の挙動は、$ \left( \frac{\sigma_{xy_1}}{\sigma_{xx}} \right)^{\alpha - 1} $ のように減少する。ここで $ \alpha $ は事前密度 $ g $ の尾の厚さを制御する。
• 優越収束定理を用いて、$ g $ に対する適切な尾の条件のもとで、無限大におけるマージナル密度の極限が有限かつ非ゼロであることを示し、事後分布における重たい尾の持続性を確認した。