[論文レビュー] Increasing and Decreasing Subsequences of Permutations and Their Variants

Richard P. Stanley|ArXiv.org|Dec 1, 2005

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 86被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、置換における増加および減少部分列の包括的サーベイを提供し、RSKアルゴリズム、確率的行列理論、表現論とその分布を結びつける。主な貢献は、Tracy-Widom分布による最長増加部分列長の漸近的極限分布の特定であり、その結果を対合、マッチング、集合分割へと拡張し、固有値分布および代数的組合せ論と関連付ける。

ABSTRACT

We survey the theory of increasing and decreasing subsequences of permutations. Enumeration problems in this area are closely related to the RSK algorithm. The asymptotic behavior of the expected value of the length is(w) of the longest increasing subsequence of a permutation w of 1,2,...,n was obtained by Vershik-Kerov and (almost) by Logan-Shepp. The entire limiting distribution of is(w) was then determined by Baik, Deift, and Johansson. These techniques can be applied to other classes of permutations, such as involutions, and are related to the distribution of eigenvalues of elements of the classical groups. A number of generalizations and variations of increasing/decreasing subsequences are discussed, including the theory of pattern avoidance, unimodal and alternating subsequences, and crossings and nestings of matchings and set partitions.

研究の動機と目的

• 置換における増加および減少部分列の理論とその変種を体系的かつ包括的にサーベイすること。
• 最長増加部分列の分布と、確率的行列理論および表現論における深い結果との関係を確立すること。
• 古典的な置換に関する結果を、対合などの部分集合およびマッチングや集合分割などの組合せ的対象へと拡張すること。
• 代数的組合せ論および確率論の道具を用いて、部分列統計の漸近的挙動を探索すること。
• 対称関数および代数的構造に基づく共通の理論的枠組みの下で、マッチングにおける交差とネスティングといった多様な組合せ的構造を統一すること。

提案手法

• 置換を標準ヤング盤のペアに写すためのRobinson-Schensted-Knuth（RSK）対応を用いる。
• 増加および減少部分列の境界に関する基礎的結果として、Erdős–Szekeresの定理を適用する。
• 最長増加部分列長の極限分布を記述するためにTracy-Widom分布を用いる。
• RSKアルゴリズムを用いて、与えられた形状の標準ヤング盤の個数を通じて、特定の部分列長を持つ置換の個数を数える。
• 遷移行列法および母関数を用いて、交差数およびネスティング数が制限されたマッチングを数える。
• マッチングにおける交差とネスティングの分布と、対合における減少部分列の分布との間の関係を、振動的盤への双対写像を通じて確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サイズ $ n $ の一様ランダムな置換における最長増加部分列長の漸近的分布は何か？
• RQ2 マッチングにおける交差とネスティングの分布は、対合における減少部分列の分布とどのように関係するか？
• RQ3 サイズが大きくなるに従って、一様ランダムなマッチングにおけるネスティング数または交差数の極限分布は何か？
• RQ4 置換に関する結果は、対合や集合分割といった特別なクラスへとどのように拡張されるか？
• RQ5 マッチングや集合分割における交差とネスティングの組合せ的構造を裏付ける代数的構造（例えば、Brauer代数や分割代数）は何か？

主な発見

• サイズ $ n $ のランダムな置換における最長増加部分列長の極限分布は、適切な中心化およびスケーリングを施した後、Tracy-Widom分布に収束する。
• ランダムなマッチング $ M otin rak{M}_n $ に対して、ネスティング数 $ ext{ne}_n(M) $ は、$ n \to \infty $ のとき、$ \frac{\text{ne}_n(M) - \tilde{c}_n}{\tilde{d}_n} \to F(t)^{1/2} \exp\left(\frac{1}{2}\int_t^\infty u(s)ds\right) $ として分布収束する。ここで $ \tilde{c}_n = \sqrt{2n} $、$ \tilde{d}_n = (2n)^{1/6} $、$ F(t) $ はTracy-Widom累積分布関数である。
• 最大 $ p $ 個の交差と $ q $ 個のネスティングを持つマッチングの個数の母関数 $ H_{p,q}(x) $ は有理関数であり、分母の根は $ m = p + q + 1 $ を含むコサイン和の形で表せる。
• 最長増加部分列が与えられた置換の個数を数える標準ヤング盤の個数 $ f^\lambda $ は、対称群とRSK対応を通じて表現論と関連している。
• サイズ $ 2n $ の対合における減少部分列の分布は、振動的盤への双対写像を通じて、サイズ $ n $ のマッチングにおける交差またはネスティングの分布と分布的に同等である。
• Brauer代数 $ \mathfrak{B}_n(x) $ は、次元 $ \tilde{f}_n^\lambda $ の既約表現を有し、これにより与えられた交差数およびネスティング数を持つマッチングの個数に表現論的解釈を与える。