[論文レビュー] Increasing hyperbolicity of varieties supporting a variation of Hodge structures with level structures

Yohan Brunebarbe|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、複素代数的多様体の有限エタール被覆の部分多様体が、準有限な周期写像をもつホッジ構造の変動を支持する場合、レベルが高くなるにつれてその双曲的性質が強化されることを確立している。レベルが高くなるにつれて部分多様体の体積とゴナリティが無限大に近づくことを示すことにより、曲線およびアーベル・多様体のモジュライ空間に関する古典的結果を一般化し、レベル構造下でのラインバンドルの正性を用いて有効な双曲的性質を証明している。

ABSTRACT

Looking at the finite étale congruence covers $X(p)$ of a complex algebraic variety $X$ equipped with a variation of integral polarized Hodge structures whose period map is quasi-finite, we show that both the minimal gonality among all curves contained in $X(p)$ and the minimal volume among all subvarieties of $X(p)$ tend to infinity with $p$. This applies for example to Shimura varieties, moduli spaces of curves, moduli spaces of abelian varieties, moduli spaces of Calabi-Yau varieties, and can be made effective in many cases. The proof goes roughly as follows. We first prove a generalization of the Arakelov inequalities valid for any variation of Hodge structures on higher-dimensional algebraic varieties, which implies that the hyperbolicity of the subvarieties of $X$ is controlled by the positivity of a single line bundle. We then show in general that a big line bundle on a normal proper algebraic variety $\bar X$ can be made more and more positive by going to finite covers of $\bar X$ defined using level structures of a local system defined on a Zariski-dense open subset.

研究の動機と目的

• 有限エタール被覆の下でのホッジ構造の変動を支持する多様体の部分多様体の双曲的性質の変化を理解すること。
• 曲線およびアーベル・多様体のモジュライ空間に関する古典的結果を、準有限周期写像をもつより広いクラスの多様体へ一般化すること。
• ラインバンドルの正性を用いて、レベル被覆内の部分多様体の体積およびゴナリティに対する有効な下界を確立すること。
• このような被覆の部分多様体が、双有理的複雑性が増加するにつれて最終的には一般型であることを示すこと。

提案手法

• ハイパーオリジナル不等式を高次元多様体へ一般化し、双曲的性質とグリフィス・ラインバンドルの正性を関連付ける。
• ホッジ計量を用いてグリフィス・ラインバンドルのチャーン類を計算し、その曲率性質を分析する。
• 局所系へのレベル構造を用いて有限エタール被覆を構成し、コンパクト化上でのラインバンドルの正性を高める。
• 双有理的モデルと対数正則拡張を考察することで、アーベル・ラインバンドルのケースに帰着する。
• ホッジ構造のメロモーフィック拡張理論を用いて特異点を制御し、対数正則ラインバンドルへの計量の拡張を保証する。
• ウェイルの降下とトレッキリ・埋め込みを用いて、アーベル多様体のモジュライ空間から曲線およびカバリ・ヤウ多様体のモジュライ空間へ結果を転送する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホッジ構造の変動を支持する多様体のレベル被覆における部分多様体の双曲的性質は、レベルが高くなるにつれてどのように変化するか？
• RQ2 このような被覆における部分多様体の体積とゴナリティが、すべての部分多様体に対して一様に無限大に近づくことが示せるか？
• RQ3 グリフィス・ラインバンドルの正性が、高次元多様体における双曲的性質をどの程度制御できるか？
• RQ4 レベル被覆の構造とホッジ計量から、体積およびゴナリティに対する有効な下界を導出できるか？
• RQ5 カバリ・ヤウ多様体およびアーベル多様体のモジュライ空間は、レベル構造の下で双曲的性質を強化するか？

主な発見

• すべての有限素数 p に対して、X(p) の任意の整数部分多様体 Y は、任意の v > 0 に対して vol(Y) ≥ v を満たす。これは、部分多様体が最終的に一般型であることを示唆する。
• X(p) 内の曲線の最小種数は p と共に無限大に近づき、同様に最小ゴナリティについても同様の性質が成り立つ。
• X(p) の任意の部分多様体の体積は、p が増加するにつれて無限大に近づく。これは多くの場合に有効である。
• アーベル多様体のモジュライ空間 Ag(n) に対しては、n > 6g のとき、すべての部分多様体が一般型であり、曲線のゴナリティは少なくとも ⌈n/(6g)⌉ 以上である。
• 極小化されたカバリ・ヤウ多様体のモジュライ空間に対しては、レベル-p 被覆における部分多様体の最小体積およびゴナリティが、p と共に無限大に近づく。
• 結果は、シムーラ多様体、曲線のモジュライ空間、アーベル多様体、カバリ・ヤウ多様体に対して一様に適用可能であり、多くの場合に有効な下界が得られる。