[論文レビュー] Increasing tableaux and Narayana numbers

Timothy Pressey, Anna Stokke+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2014

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、増加的長方形テーブルックスと一般化されたNarayana数の間の関係を確立し、形状 $m \times n$ のようなテーブルックスの数が、小規模な $m$-Schröder数に等しいことを証明している。これは、$m$-Narayana多項式を $t=2$ で評価した値に一致する。さらに、数え上げ式の $q$-アナログを導入し、組合せ的解釈に基づくアーム–レッグ反転を用いて、$K$-プロモーションに関する巡回的シービング現象を示している。

ABSTRACT

We give a counting formula for the set of rectangular increasing tableaux in terms of generalized Narayana numbers. We define small $m$-Schröder paths and give a bijection between the set of increasing rectangular tableaux and small $m$-Schröder paths, generalizing a result of Pechenik [3]. Using $K$-jeu de taquin promotion, which was defined by Thomas and Yong [10], we give a cyclic sieving phenomenon for the set of increasing hook tableaux.

研究の動機と目的

• 形状 $2 \times n$ の増加的テーブルックスと小規模なSchröderパスの間のPechenikの双対写像を $m \times n$ の長方形形状に一般化すること。
• 形状 $m \times n$ の増加的テーブルックスの数を一般化されたNarayana数で表す公式を導出すること。
• $K$-ジェュ・ド・タキンのプロモーションに関する巡回的シービング現象（CSP）を、数え上げ式の $q$-アナログを用いて、増加的フックテーブルックスに対して確立すること。

提案手法

• $(0,\dots,0)$ から $(n,\dots,n)$ への $m$ 次元空間内の格子路として小規模な $m$-Schröderパスを定義する。ステップは $X_i$ であり、$x_m \leq \cdots \leq x_1$ を満たし、$\ell$ 個の上昇を含む。
• 小規模な $m$-Schröderパスと形状 $m \times n$ の増加的長方形テーブルックスの間の双対写像を構成する。これは $m=2$ の場合のPechenikの結果を一般化する。
• 増加的フックテーブルックスの形状 $(N-r,1^r)$ に対して、$K$-ジェュ・ド・タキンのプロモーションを用いて巡回群作用を定義する。群の位数は $N-k-1$ である。
• アーム–レッグ反転を用いてテーブルックスを数える $q$-アナログ多項式 $X(q) = \left[\begin{smallmatrix}N-k-1 \\ r\end{smallmatrix}\right]_q \left[\begin{smallmatrix}r \\ k\end{smallmatrix}\right]_q$ を定義する。
• 三つ組 $(\mathop{\rm Inc}\nolimits_k(N-r,1^r), C, X(q))$ が巡回的シービング現象を示すことを証明する。ここで $C$ は $K$-プロモーションによって生成される巡回群である。
• 増加的フックテーブルックスから標準的フックテーブルックスへの写像 $\psi$ を定義し、Reiner, Stanton, White の結果を活用してCSPを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 形状 $m \times n$ の増加的長方形テーブルックスの数は、一般化されたNarayana数を用いてどのように表現できるか？
• RQ2 Pechenikの増加的テーブルックスと小規模なSchröderパスの間の双対写像は、$m > 2$ の高次元に一般化可能か？
• RQ3 増加的テーブルックスの数え上げ式の $q$-アナログは、$K$-プロモーションの下で巡回的シービング現象を示すか？
• RQ4 CSPに用いられる $q$-アナログ多項式の係数の組合せ的解釈は何か？
• RQ5 なぜ $|\mathop{\rm Inc}\nolimits_1(3 \times 3)|$ の自然な $q$-アナログは、$K$-プロモーションの下でCSPを満たさないのか？

主な発見

• 形状 $m \times n$ の増加的テーブルックスの数は、小規模な $m$-Schröder数 $N_{m,n}(2)$ に等しく、$m=2$ の場合のPechenikの結果を一般化する。
• $\mathop{\rm Inc}\nolimits_k(m \times n)$ の濃度は、一般化されたNarayana数 $N(m,n,\ell)$ の線形結合であり、定理2.4で具体的な公式が与えられる。
• 重要な推論として、$|\mathop{\rm Inc}\nolimits_1(m \times n)| = \frac{(m-1)(n-1)}{2} |\mathop{\rm SYT}\nolimits(m \times n)|$ が成り立ち、増加的テーブルックスと標準的テーブルックスを結びつける。
• $q$-アナログ多項式 $X(q) = \left[\begin{smallmatrix}N-k-1 \\ r\end{smallmatrix}\right]_q \left[\begin{smallmatrix}r \\ k\end{smallmatrix}\right]_q$ は、アーム–レッグ反転を数えるものであり、$K$-プロモーションの下で巡回的シービング現象を満たす。
• $q$-アナログ多項式の係数は、増加的フックテーブルックスにおけるアーム–レッグ反転の数として自然な組合せ的解釈を持つ。
• 例として、$|\mathop{\rm Inc}\nolimits_1(3 \times 3)|$ の自然な $q$-アナログは、8次の原始根の単位根で整数値を取らないことが示され、CSPを満たさない。これは、$q$-アナログの選択が非自明であることを強調している。