[論文レビュー] Increasing the chromatic number of a random graph

Noga Alon, Benny Sudakov|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2010

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ランダムグラフ $G_{n,0.5}$ の彩色数を1%増加させるために追加されなければならない辺の最小数を特定し、$\Omega(n^2/\log^2 n)$ の辺が、定数倍の誤差を除いて必要かつ十分であることを示している。$n^{-1/3+\delta} \leq p \leq 1/2$ の範囲における $G_{n,p}$ における彩色数のグローバルおよびローカルなレジリエンスについて、タイトな境界を確立し、二次未満の辺数を追加しても、通常の値よりも顕著に彩色数が上昇しないことを証明している。

ABSTRACT

What is the minimum number of edges that have to be added to the random graph $G=G_{n,0.5}$ in order to increase its chromatic number $χ=χ(G)$ by one percent ? One possibility is to add all missing edges on a set of $1.01 χ$ vertices, thus creating a clique of chromatic number $1.01 χ$. This requires, with high probability, the addition of $Ω(n^2/\log^2 n)$ edges. We show that this is tight up to a constant factor, consider the question for more general random graphs $G_{n,p}$ with $p=p(n)$, and study a local version of the question as well. The question is motivated by the study of the resilience of graph properties, initiated by the second author and Vu, and improves one of their results.

研究の動機と目的

• 彩色数を $G_{n,0.5}$ で1%増加させるために必要な辺の最小数を特定すること。
• この分析を $p \in [n^{-1/3+\delta}, 1/2]$ の一般のランダムグラフ $G_{n,p}$ に拡張すること。
• 通常の彩色数 $\sim n/(2\log_b(np))$ を基準として、グローバルおよびローカルなレジリエンスのタイトな境界を確立すること。
• スダコフとヴゥの先行研究におけるレジリエンスの境界、特に $np^2/\log^5 n$ のローカルレジリエンス推定値を改善すること。

提案手法

• スダコフとヴゥのレジリエンスフレームワークを用いて、彩色数を変化させるために追加される辺の数を分析する。
• 確率論的技法と一階および二階モーメントの計算を適用し、独立集合数と彩色数の境界を求める。
• 頂点部分集合に誘導される部分グラフにおける大きな独立集合を見つけることに基づく反復的彩色手順を採用する。
• 集中不等式と次数の上限を用いて、ローカルレジリエンス設定における $H$ が追加する辺の数を制御する。
• 彩色数の下界として $\chi(G) \leq n/\alpha(G)$ を用い、独立集合の構成により上界を導出する。
• 補題3.1および補題3.2を用いて、誘導部分グラフ内の辺数を制限し、彩色数が通常値の $1+\epsilon$ の範囲内に保たれることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $G_{n,0.5}$ に追加される辺の最小数は何か、それが彩色数を1%増加させるか？
• RQ2 $p \in [n^{-1/3+\delta}, 1/2]$ の範囲において、$G_{n,p}$ の彩色数に対するグローバルレジリエンスは $n$ と $p$ に対してどのようにスケーリングされるか？
• RQ3 先行研究の $np^2/\log^5 n$ の境界を超えて、彩色数のローカルレジリエンスを改善できるか？
• RQ4 ローカルレジリエンスの境界における $\log\log n$ 要素はタイトか、それとも取り除けるか？
• RQ5 彩色数を $1+\epsilon$ 倍にする最も効率的な方法は、サイズ $\sim n/\log_b(np)$ の大きなクリークを作ることではないか？

主な発見

• 彩色数に対する $G_{n,p}$ のグローバルレジリエンスは、$(1+\epsilon)n/(2\log_b(np))$ 以下で、$\Theta(n^2/\log^2_b(np))$ であり、定数倍の誤差を除いてタイトである。
• $p \in [n^{-1/3+\delta}, 1/2]$ の範囲では、$2^{-12}\epsilon^2 n^2 / \log^2_b(np)$ の辺を追加しても、通常の値 $(1+\epsilon)n/(2\log_b(np))$ を超えて彩色数が上昇しないことはほとんど確実に成り立つ。
• 追加グラフ $H$ の最大次数が $2^{-8}\epsilon n / (\log_b(np)\log\log n)$ 以下であれば、ローカルレジリエンスの境界が成り立つ。これにより、彩色数は通常値の $1+\epsilon$ の範囲内に保たれる。
• ローカルレジリエンスの境界は $\log\log n$ 要素に関してタイトではなく、改善の余地があることを示唆している。
• 論文は、ローカルレジリエンスの条件における $\log\log n$ 要素は取り除ける可能性があると予想している。
• 彩色数を $1+\epsilon$ 倍にする最も経済的な方法は、サイズ $\sim n/\log_b(np)$ のクリークを作成することであるが、これに必要な辺数は $\sim n^2/(16\log^2_b n)$ であり、未解決の問題のままである。