[論文レビュー] Incremental $(1-ε)$-approximate dynamic matching in $O(poly(1/ε))$ update time

Joakim Blikstad, P. Kiss|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、O(poly(1/ε))の均等更新時間で、(1−ε)-近似の確定的動的マッチングアルゴリズムを、増分的二部グラフに対して初めて提示する。これは、重み付きエッジ次数制約部分グラフ（EDCS）データ構造の新規応用に基づく。アルゴリズムは、EDCS上で分数マッチングおよび分数頂点被覆を維持することで、(1−ε)-近似を達成する。さらに、頂点削除を伴う完全動的グラフに対しても、加法的(1, ε·n)-近似保証を満たすように拡張される。

ABSTRACT

In the dynamic approximate maximum bipartite matching problem we are given bipartite graph $G$ undergoing updates and our goal is to maintain a matching of $G$ which is large compared the maximum matching size $μ(G)$. We define a dynamic matching algorithm to be $α$ (respectively $(α, β)$)-approximate if it maintains matching $M$ such that at all times $|M | \geq μ(G) \cdot α$ (respectively $|M| \geq μ(G) \cdot α- β$). We present the first deterministic $(1-ε)$-approximate dynamic matching algorithm with $O(poly(ε^{-1}))$ amortized update time for graphs undergoing edge insertions. Previous solutions either required super-constant [Gupta FSTTCS'14, Bhattacharya-Kiss-Saranurak SODA'23] or exponential in $1/ε$ [Grandoni-Leonardi-Sankowski-Schwiegelshohn-Solomon SODA'19] update time. Our implementation is arguably simpler than the mentioned algorithms and its description is self contained. Moreover, we show that if we allow for additive $(1, ε\cdot n)$-approximation our algorithm seamlessly extends to also handle vertex deletions, on top of edge insertions. This makes our algorithm one of the few small update time algorithms for $(1-ε)$-approximate dynamic matching allowing for updates both increasing and decreasing the maximum matching size of $G$ in a fully dynamic manner.

研究の動機と目的

• O(poly(1/ε))の部分多項式更新時間で、(1−ε)-近似の二部マッチングに対する確定的動的マッチングアルゴリズムの設計。
• 増分的グラフ（エッジ挿入のみ）に対して、O(poly(1/ε))の均等更新時間の達成。
• エッジ挿入と頂点削除の両方を扱える完全動的設定におけるアルゴリズムの拡張。
• 重み付きEDCSをマッチングスパースファイアーとして用いる際の、簡素化された解析の提供。
• 重み付きEDCSを任意に密集したグラフに応用する、動的マッチングの文脈で初めての応用の提示。

提案手法

• 重み付きエッジ次数制約部分グラフ（EDCS）データ構造を、動的二部マッチングのスパースファイアーとして活用する。
• 近似比を証明するために、EDCS上で分数マッチングおよび分数頂点被覆を維持する。
• 次数制約を制御し、マッチングサイズを保持するために、EDCSの辺に新しい重み付け方式を導入する。
• 重み付きEDCSが最大マッチングの少なくとも(1−ε)を保持することを示す、自己完備的な解析を適用する。
• 加法的(1, ε·n)-近似を許容することで、頂点削除を処理するためのアルゴリズムの拡張。
• β = Θ(1/ε²)が、重み付きEDCSにおける(1−ε)-近似を達成するために必要であることを示す構成的下界を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 増分的グラフにおいて、O(poly(1/ε))の更新時間で、確定的(1−ε)-近似の動的マッチングアルゴリズムを達成可能か？
• RQ2 重み付きEDCS構造は、密集したグラフにおいて最大マッチングの(1−ε)を保持するのに十分か？
• RQ3 重み付きEDCSにおける(1−ε)-近似を保証するための最小のβ（次数閾値）は何か？
• RQ4 アルゴリズムは、エッジ挿入と頂点削除の両方を扱える完全動的設定に拡張可能か？
• RQ5 重み付きEDCSをマッチングスパースファイアーとして用いる解析は、先行研究と比較して簡素化可能か？

主な発見

• アルゴリズムは、エッジ挿入の下で、(1−ε)-近似の動的マッチングに対してO(poly(1/ε))の均等更新時間で達成される。
• β ≥ Θ(1/ε²)のとき、重み付きEDCSは最大マッチングサイズの少なくとも(1−ε)µ(G)を保持し、この境界はタイトである。
• 重み付きEDCSをマッチングスパースファイアーとして用いる際の近似比に対する、著しく簡素化された証明が提供される。
• 加法的(1, ε·n)-近似を許容することで、頂点削除を処理するためのアルゴリズムの拡張が可能となり、完全動的サポートが実現される。
• 下界構成により、β = Θ(1/√β)が(1−ε)-近似に必要であることが示され、β = Θ(1/ε²)がタイトであることが示唆される。
• 本手法は、動的マッチングの文脈で、重み付きEDCSを任意に密集したグラフに応用する、初めての応用を導入する。