[論文レビュー] Indecomposable coverings with unit discs.

Dömötör Pálvölgyi|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2013

Point processes and geometric inequalities参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、1980年にジャンォシュ・パッチが提起した予想である「平面上の任意の開凸集合は、カバー分解可能である」という予想を、単位円板がカバー分解可能でないことを証明することで反証している。著者らは、平面を単位円板の平行移動によるm重被覆で覆う幾何的構成を用い、任意の有限mに対して、すべてのm重被覆が2つの被覆に分解可能であるようなmが存在しないことを示し、滑らかな凸集合（単位円板を含む）に対してもこの予想を反証している。

ABSTRACT

We disprove the 1980 conjecture of Janos Pach about the cover-decomposability of open convex sets by showing that the unit disc is not cover-decomposable. In fact, our proof easily generalizes to any set with a smooth boundary. We also show that (the suitable variant of) the conjecture holds for unbounded sets. Let C be a collection of sets in R2. We say that C is an m-fold covering if every point of R2 is contained in at least m members of C. A 1-fold covering is simply called a covering. De nition. A planar set C is said to be cover-decomposable if there exists a (minimal) constant m = m(C) such that every m-fold covering of the plane with translates of C can be decomposed into two coverings. The problem of characterizing all cover-decomposable sets in the plane was proposed by Pach [12] in 1980. He made the following conjecture. Conjecture (Pach). Every planar convex set C is cover-decomposable. The goal of this paper is to disprove this conjecture by showing it does not hold for the unit disc (and thus refuting an argument in the unpublished manuscript [10] of Mani-Levitska and Pach from 1986, which the authors were kind enough to share with us). Theorem 1. The unit disc is not cover-decomposable. It is quite surprising that the conjecture fails already for discs. This special case of the problem was also mentioned as an open problem in the November 2009 issue of the Communications of the ACM by Peter Winkler [18], and he guessed (like everybody else as well) that it should be possible to decompose every 4-fold covering of the plane with unit discs into two coverings. For the proof, see Section 1 and 2. As a consequence, we also obtain a construction for the respective claim in higher dimensions about unit balls, giving a simpler example than the one in [10]. Theorem 1 is also a strengthening of a theorem of [14], where a non-2-colorable hypergraph is realized by discs (of various size). Since unit discs can be approximated by (convex) polygons, we can also derive †Institute of Mathematics, Eotvos University, Budapest Research supported by Hungarian National Science Fund (OTKA), grant PD 104386, the EUROGIGA project 10-EuroGIGA-OP-003 (OTKA NN 102029) and the Janos Bolyai Research Scholarship of the Hungarian Academy of Sciences.

研究の動機と目的

• ジャンォシュ・パッチの1980年予想、すなわち平面上の任意の凸集合がカバー分解可能であるという予想を反証すること。
• 滑らかで凸であるにもかかわらず、任意の有限mに対して、m重被覆から2つの被覆に分解できない単位円板がカバー分解可能でないことを示すこと。
• 結果を、境界が滑らかな任意の平面上の集合に一般化し、このクラスにおけるカバー分解不可能性を示すこと。
• 非有界集合に対しては予想が成り立つことを確立し、有界で滑らかな場合の失敗とは対照的であることを示すこと。
• 2009年にピーター・ウィンクラーが提起した、単位円板による4重被覆の分解可能性に関する未解決問題を解決すること。

提案手法

• 任意の有限mに対して、2つの被覆に分割できない、単位円板の平行移動によるm重被覆の構成。
• 幾何学的および位相的議論を用いて、単位円板に対してカバー分解可能性条件を満たす有限mが存在しないことを示すこと。
• 境界の滑らかさを活用し、単位円板に限らず、任意の滑らかな凸集合に対しても反例を一般化すること。
• 特に、サイズの異なる円板によって実現される非2色分け可能な超グラフを用いたハイパーグラフ理論の技術を応用して、構成を支援すること。
• 凸多角形による近似を用いて、結果を離散幾何学およびハイパーグラフ彩色に結びつけること。
• より単純な反例を構築することで、これまでの未発表のマニフェスト[10] よりも高次元における反例を簡略化すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単位円板はカバー分解可能であるか、すなわち、任意の有限mに対して、単位円板によるm重被覆が2つの被覆に分解可能であるか？
• RQ2 滑らかな境界をもつすべての平面上の凸集合に対し、カバー分解可能性の予想は成り立つか？
• RQ3 単位円板に対する反例は、他の滑らかな凸集合へ一般化可能か？
• RQ4 非有界凸集合に対し、予想は成り立つか、もしそうならどのような条件下で成り立つか？
• RQ5 この結果は、特に単位球体に対して高次元空間へ拡張可能か？

主な発見

• 単位円板はカバー分解可能でないため、パッチの1980年予想がこの特定のケースで反証された。
• 反例は、境界が滑らかな任意の平面上の集合へ一般化され、そのような集合がカバー分解可能でないことが示された。
• 以前の未発表のマニフェスト[10] よりも単純な反例を高次元で得た。
• 構成により、単位円板による4重被覆ですら2つの被覆に分解できないことが示され、広く信じられていた考えに反する。
• 滑らかな凸集合ではカバー分解不可能であるのに対し、非有界集合では予想が成り立つという対比が明らかになった。この論文では、非有界集合が変種条件を満たすことを証明した。
• [14] の結果を強化し、サイズの異なる円板によって実現される非2色分け可能なハイパーグラフを構築したが、今や単位円板の場合にまで拡張された。