[論文レビュー] Indecomposable representations of Lie superalgebras

Dimitry Leites|ArXiv.org|Feb 18, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、ゲルファンドとポノマレフの技法を用いて、Lie超代数 ${\mathfrak{sl}}(1|2)$ および ${\mathfrak{osp}}(2|2)$ の有限次元非分解的表現を完全に分類し、その結果を ${\mathfrak{sl}}(1|n)$ および ${\mathfrak{osp}}(2|2n)$ に拡張する。主な貢献は、これらの代数において、典型的でない可約表現が非分解的構造に参加可能であることを明示的に示したことである。これは、Cartan行列を持たない他の単純Lie超代数とは異なり、典型的可約表現が非分解的構造に参加可能である点で特徴的である。

ABSTRACT

In 1960's I. Gelfand posed a problem: describe indecomposable representations of any simple infinite dimensional Lie algebra of polynomial vector fields. Here, by applying the elementary technique of Gelfand and Ponomarev, a toy model of the problem is solved: finite dimensional indecomposable representations of vect(0|2), the Lie superalgebra of vector fields on the (0|2)-dimensional superspace, are described. Since vect (0|2) is isomorphic to sl(1|2) and osp(2|2), their representations are also described. The result is generalized in two directions: for sl(1|n) and osp(2|2n). Independently and differently J. Germoni described indecomposable representation of the series sl(1|n) and several individual Lie superalgebras. Partial results for other simple Lie superalgebras without Cartan matrix are reviewed. In particular, it is only for vect(0|2) and sh(0|4) that the typical irreducible representations can not participate in indecomposable modules; for other simple Lie superalgebras without Cartan matrix (of series vect(0|n), svect(0|n)$, svect(0|n)', spe(n) for n>2 and sh(0|m) for m>4) one can construct indecomposable representations with arbitrary composition factors. Several tame open problems are listed, among them a description of odd parameters

研究の動機と目的

• 無限次元Lie代数の非分解的表現の分類問題（I. ゲルファンドの1960年代の問題）に応えるために、有限次元の模型モデルを研究すること。
• ${\mathfrak{vect}}(0|2)$ が ${\mathfrak{sl}}(1|2)$ および ${\mathfrak{osp}}(2|2)$ と同型であることを用い、初等的な表現論的技法を用いて、その有限次元非分解的表現をすべて記述すること。
• 分類結果を ${\mathfrak{sl}}(1|2)$ から一般族 ${\mathfrak{sl}}(1|n)$ に拡張し、初期の模型モデルを超えた範囲に拡大すること。
• 異なるLie超代数、特にCartan行列を持たない代数における典型的可約表現が非分解的モジュールに果たす役割を分析すること。
• 特に非分解的モジュールにおける奇数パラメータの未解決問題を特定・強調すること。

提案手法

• ゲルファンドとポノマレフの手法を採用し、${\mathfrak{vect}}(0|2)$ 上のモジュール構造を解析し、${\mathfrak{sl}}(1|2)$ および ${\mathfrak{osp}}(2|2)$ との同型を活用する。
• 有限次元Lie超代数の表現論に依拠し、特に ${\mathfrak{h}}$-対角化可能性と重み空間分解に注目する。
• 超トレースとLie超代数の行列実現を用いて、双線形形式を保存する自己同型代数を定義・研究し、${\mathfrak{osp}}(m|2n)$ や ${\mathfrak{pe}}(n)$ などの超代数を扱う。
• 対称的超形式と反対称的超形式を区別し、$J_{2n}$ や $B_{ev}(m|2n)$ などの標準的行列形式を用いて、対応するLie超代数を分類する。
• ${\mathfrak{sl}}(1|2)$ から ${\mathfrak{sl}}(1|n)$ および ${\mathfrak{osp}}(2|2)$ から ${\mathfrak{osp}}(2|2n)$ への一般化を、代数の構造的性質とその表現の性質を用いて行う。
• ${\mathfrak{vect}}(0|n)$, ${\mathfrak{svect}}(0|n)$, ${\mathfrak{s}}{\mathfrak{pe}}(n)$, ${\mathfrak{s}}{\mathfrak{h}}(0|m)$ などのCartan行列を持たない他の単純Lie超代数についての部分的な結果をレビューし、非分解的モジュールの挙動を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ${\mathfrak{sl}}(1|2)$ および ${\mathfrak{osp}}(2|2)$ に対して存在する有限次元非分解的表現は何か、そしてそれらを明示的に分類する方法は何か？
• RQ2 ${\mathfrak{sl}}(1|2)$ からの非分解的表現の分類を一般族 ${\mathfrak{sl}}(1|n)$ にどの程度まで拡張できるか？
• RQ3 異なるLie超代数において、典型的可約表現の性質は、非分解的モジュールの組成因子として現れる能力においてどのように異なるか？
• RQ4 非分解的表現の構造における奇数パラメータの役割は何か？なぜそれらの決定は未解決の問題のままか？
• RQ5 どのCartan行列を持たないLie超代数において、任意の組成因子を持つ非分解的表現を構成できるか？

主な発見

• この論文は、${\mathfrak{sl}}(1|2)$ および ${\mathfrak{osp}}(2|2)$ の有限次元非分解的表現を完全に分類し、一般族 ${\mathfrak{sl}}(1|n)$ および ${\mathfrak{osp}}(2|2n)$ の基礎的結果を確立する。
• ${\mathfrak{sl}}(1|n)$ および ${\mathfrak{osp}}(2|2n)$ に対して、非分解的モジュールは重み空間分解と ${\mathfrak{h}}$-対角化可能性に基づく明示的構成を用いて完全に記述されている。
• 他のCartan行列を持たない単純Lie超代数（例：$n\geq 3$ の ${\mathfrak{vect}}(0|n)$）とは異なり、${\mathfrak{vect}}(0|2)\simeq{\mathfrak{sl}}(1|2)$ および ${\mathfrak{s}}{\mathfrak{h}}(0|4)\simeq{\mathfrak{psl}}(2|2)$ の典型的可約表現は非分解的モジュールに参加できない。
• ${\mathfrak{svect}}(0|n)$, ${\widetilde{\mathfrak{svect}}}(0|n)$, ${\mathfrak{s}}{\mathfrak{pe}}(n)$（$n\geq 3$）、および ${\mathfrak{s}}{\mathfrak{h}}(0|m)$（$m\geq 5$）を含む、他のすべてのCartan行列を持たない単純Lie超代数において、任意の組成因子を持つ非分解的表現を構成可能である。
• 非分解的モジュールにおける奇数パラメータの計算は、モジュール構造自体の分類が完了しているにもかかわらず、依然として主要な未解決問題であると特定された。
• 単純Lie超代数の有限次元表現は一般には完全可約ではないことが確認されたが、${\mathfrak{osp}}(1|2n)$ を除く。これは非分解的モジュールの研究の必要性を強調する。