[論文レビュー] Indefinite theta series of signature (1,1) from the point of view of homological mirror symmetry

Alexander Polishchuk|ArXiv.org|Mar 13, 2000

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、(1,1)型の不定的イータ級数と楕円曲線におけるホモロジカルミラー双対性の間の関係を確立し、このような級数が古典的イータ関数およびアペルの超幾何級数 κ で表現可能であることを証明する。主な結果は、モジュラーな不定的イータ級数が、楕円曲線上の連接層の導来カテゴリ－における普遍的一価三重マッセイ積に正確に一致することであり、標準的モジュラー形式を用いた明示的な有理関数表現が得られる。

ABSTRACT

We apply the homological mirror symmetry for elliptic curves to the study of indefinite theta series. We prove that every such series corresponding to a quadratic form of signature (1,1) can be expressed in terms of theta series associated with split quadratic forms and the usual theta series. We also show that indefinite theta series corresponding to univalued Massey products between line bundles on elliptic curve are modular.

研究の動機と目的

• 符号 (1,1) の二次形式に関連する不定的イータ級数のモジュラー性を理解すること。
• このようなモジュラー級数と楕円曲線上の連接層の導来カテゴリ－における一価三重マッセイ積との対応関係を確立すること。
• 不定的イータ級数を標準的イータ関数およびアペルの双方向超幾何級数 κ で表現すること。
• ホモロジカルミラー双対性を統合的枠組みとして用い、適切な条件下でこれらの級数がジャコビ形式であることを証明すること。

提案手法

• 楕円曲線におけるホモロジカルミラー双対性を用いて、コhomological 構造とモジュラー形式との関係を関係づける。
• 導来カテゴリ－の枠組みを用いて、マッセイ積が不定的イータ級数におけるモジュラー性の源であると解釈する。
• アペル級数 κ(y,x;τ) を、不定的イータ級数を表現する基本的構成要素として用いる。
• 格子上の有理線形関数を用いて、一般の不定的イータ級数を κ と標準的イータ関数の組み合わせに還元する。
• イータ関数の性質およびモジュラー変換の性質を用いて、関数方程式および変換法則を導出する。
• SL(2,Z) および格子の平行移動における変換挙動を検証することで、得られた関数がジャコビ形式であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 符号 (1,1) の不定的イータ級数がいつモジュラーになるか。
• RQ2 このようなモジュラー級数は、楕円曲線上の導来カテゴリ－構造とどのように関係するか。
• RQ3 すべての有理錐を有する不定的イータ級数は、標準的イータ関数およびアペル級数で表現可能か。
• RQ4 一価三重マッセイ積が、モジュラーな不定的イータ級数を生成する際に果たす正確な役割は何か。
• RQ5 これらの級数の変換性質は、ジャコビ形式構造とどのように関係するか。

主な発見

• 符号 (1,1) の二次形式および有理錐を持つ任意の不定的イータ級数は、標準的イータ関数およびアペルの級数 κ の有理関数として表現可能である。
• モジュラーな不定的イータ級数は、楕円曲線上の連接層の導来カテゴリ－における普遍的一価三重マッセイ積に正確に一致する。
• 関数 F_{l,S} は、二次形式 Q+Q₀ に関して、部分格子 Λ′ および合同部分群 Γ に対して、重み (d−d₀)/2 + 1 のジャコビ形式である。
• Q+Q₀ は d₀ > 1 のとき正定値であり、d₀ = 1 のときは退化するため、後者の場合は単一変数のジャコビ形式となる。
• d₁ = d₂ = 2、d₀ = 1 の場合、関数 F はイータ関数の行列式であり、(x₁+x₂, τ) に関して重み 2、インデックス 2 のジャコビ形式である。
• 明示的な恒等式が導出され、F(x₁,x₂;τ) はイータ関数の積と、3 を法とする非自明なディリクレ指標 χ₃ を含む級数の積に等しい。