[論文レビュー] Indefinite Theta Series on Cones

Martin Raum|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2016

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ひとこと要約

本稿は、任意の符号性をもつ不定ラティスにおける多面体錐上での不定テータ級数の収束を確立し、幾何的アプローチを用いて明示的なモジュラー補完を提供する。このアプローチは、双曲幾何を避けるために、ユークリッド幾何を用いてガウス関数と錐上での区分定数関数の畳み込みとして補完を定式化する。これにより、一様な漸近的推定が可能となる。

ABSTRACT

We show that indefinite theta series on cones converge and provide an explicit modular completion. Our completion rests on a convolution of the Gaussian with a piecewise constant function supported on the cone. Our main innovation is to formulate this convolution in terms of euclidean geometry as opposed to hyperbolic geometry. This change of perspective allows us to establish essential asymptotic estimates without further difficulty.

研究の動機と目的

• 一般の不定ラティスにおける錐上での不定テータ級数の収束性およびモジュラー性を、(d+,1)符号性のケースを超えて解明すること。
• Zwegersのモジュラー補完フレームワークを、任意の符号性をもつ不定ラティスおよび多面体錐へと拡張すること。
• 双曲幾何に依存しない幾何的畳み込みアプローチを用いて、明示的かつ計算可能なモジュラー補完を提供すること。
• 表現論、超弦理論、数え上げ幾何の分野における応用を可能にするため、従来の(d+,1)符号性または直交立方体錐に制限されていた結果を一般化すること。

提案手法

• ガウス関数と錐上に台を持つ区分定数関数の畳み込みとしてモジュラー補完を定式化する。
• 双曲幾何ではなくユークリッド幾何を用いて畳み込みを再解釈することで、漸近的解析を単純化する。
• 非コンパクト錐をコンパクトな錐で近似することで、一様極限構成を用いて処理する。
• 等光的部の有理化と有理近似を用いて、多面体錐における収束を確立する。
• Vignérasのモジュラリティ定理と補題3.8を用いて、補完のシュワーツ関数的性質を扱う。
• Zwegersの研究から得られた分解技術を、一般の錐および符号性に適応することで、一様収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不定ラティスにおける多面体錐上での不定テータ級数が、どのような条件下で収束するか？
• RQ2 一般の符号性(d+,d−)ラティスにおけるこのようなテータ級数の明示的モジュラー補完は何か？
• RQ3 双曲幾何や制限的な錐の仮定に依存せずに、モジュラー補完をどのように構成できるか？
• RQ4 非コンパクト錐に対し、補完のフーリエ展開を明示的に計算できるか？
• RQ5 有理的等光的部が、テータ級数の収束性および極の性質をどのように決定づけるか？

主な発見

• 錐Cが有理的等光的部を持ち、非負のベクトルのみを含むとき、不定テータ級数θL,0(C; τ,z)は、メロモルフィック関数に収束する。
• モジュラー補完は、ユークリッド幾何を用いて、ガウス関数と錐上での区分定数関数の畳み込みとして明示的に構成される。
• 部分的上限と一様極限の議論を用いて収束を確立し、Zwegersのアプローチを任意の符号性へ一般化する。
• 非コンパクト錐に対しても、コンパクトケースにおける展開の極限として、モジュラー補完のフーリエ展開を一様極限として計算可能である。
• 双曲幾何を必要としないため、より単純で一般性の高い漸近的推定が可能となる。
• 従来の(d+,1)符号性や直交立方体錐に関する結果を、任意の符号性ラティスにおける一般の多面体錐へ拡張する。