[論文レビュー] Independence of Four Projective Criteria for the Weak Invariance Principle

Olivier Durieu|ArXiv.org|Apr 11, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、定常的でエルゴード的力学系における弱不変性原理のための4つの射影的基準の対ごとの独立性を確立する。すなわち、Gordinのマルティングール・コボーナリィ分解、Dedecker-Rio基準、Maxwell-Woodroofe条件、およびHannanが提唱した直交射影のL²ノルムの和を含む射影的基準である。正のエントロピーを有する系において、独立成分を有する巧みに構築されたベルヌーイシフトと、適切に調整された系列を用いて、明示的な反例を構成することで、これらの条件のいずれもが他方を含まないことが示され、一般の非適応的状況下での相互独立性が証明される。

ABSTRACT

Let $(X_i)_{i\in\Z}$ be a regular stationary process for a given filtration. The weak invariance principle holds under the condition $\sum_{i\in\Z}\|P_0(X_i)\|_2

研究の動機と目的

• 弱不変性原理のための4つの既知の射影的基準が論理的に独立であるかどうかという未解決問題を解消すること。
• 3つの基準間の独立性を示した先行研究を拡張し、4番目の基準であるフィルトレーションの増分への直交射影のL²ノルムの和を加えること。
• 正のエントロピーを有するエルゴード的力学系において、明示的な反例を構成することで、各基準が他の基準を満たさない状況を示すこと。
• 射影的基準 ∑‖P₀(f∘Tⁱ)‖₂ < ∞ がマルティングール・コボーナリィ分解、Dedecker-Rio条件、Maxwell-Woodroofe条件のいずれとも独立であることを確立すること。
• 非適応的で定常的かつエルゴード的な設定下で、これらの4つの主要基準の論理的関係を完全に分類すること。

提案手法

• 独立なσ代数BとCの積を用いてエントロピー ≥1 を有する基本的なエルゴード的力学系を構築する。
• F₀がCとi≤0の{eᵢ}で生成され、eᵢ = e₀∘Tⁱであると定義する。FᵢをT⁻ⁱF₀により定義する。
• i.i.d. ξᵢ ∈ {−1,1} を用いて線形過程 f = ∑ᵢ aᵢξᵢ を定義し、aᵢ = i⁻³ᐟ² として減衰率を制御する。
• Hₖ⊖Hₖ₋₁への直交射影作用素Pₖを用いて、射影的基準 ∑ᵢ ‖P₀(f∘Tⁱ)‖₂ < ∞ を表現する。
• P₀(f∘Tⁱ) を2つの部分に分解する：Aₖの指示関数を含むI₁(i)と、AₖΔT⁻ⁱAₖの対称差を含むI₂(i)。
• μ(AₖΔT⁻ⁱAₖ) ≤ εₖ によりI₂(i)のL²ノルムを制御し、(θₖ)と(εₖ)に関する仮定の下で ∑ᵢ ‖I₂(i)‖₂ ≤ ∑ₖ θₖ√εₖ < ∞ を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マルティングール・コボーナリィ分解条件が失敗する状況でも、射影的基準 ∑ᵢ ‖P₀(f∘Tⁱ)‖₂ < ∞ が満たされる可能性はあるか？
• RQ2 Dedecker-Rio基準が成立するが、射影的基準が成立しない状況は可能か？
• RQ3 Maxwell-Woodroofe条件が満たされるが、射影的基準が満たされない状況は可能か？
• RQ4 射影的基準が他の3つの基準のいずれかを含むのか？
• RQ5 4つの基準は、一般の非適応的状況下で、すべて対ごとに独立であるか？

主な発見

• 射影的基準 ∑ᵢ ‖P₀(f∘Tⁱ)‖₂ < ∞ はマルティングール・コボーナリィ分解条件と独立である。
• 射影的基準は、Dedecker-Rio基準と独立であり、後者は ∑ₖ f𝔼(f∘Tᵏ|F₀) のL¹収束を含む。
• 射影的基準はMaxwell-Woodroofe条件と独立であり、後者は ∑ₙ ‖𝔼(Sₙ(f)|F₀)‖₂ / n³ᐟ² < ∞ を要請する。
• 4つの基準の任意のペアについて、正のエントロピーを有するエルゴード的力学系上でのL²関数が、片方の基準を満たすが他方は満たさないようなものが存在する。
• Aₖが互いに不交で、Nₖ = i が高々1つのkに対して成り立つと仮定すると、∑ᵢ ‖P₀(f∘Tⁱ)‖₂ が収束するための必要十分条件は ∑ₖ θₖ√μ(Aₖ) < ∞ である。
• 構成法により、誤差項I₂(i)のL²ノルムが ∑ₖ θₖ√εₖ で有界であり、(θₖ)と(εₖ)に関する与えられた仮定の下でこれが有限であることが保証される。