[論文レビュー] Independence Properties of Algorithmically Random Sequences

Steven M. Kautz|ArXiv.org|Jan 16, 2003

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、アルゴリズム的ランダムな無限バイナリーシーケンス A が、有界なコルモゴロフ＝ロヴェランド選択規則によって選択されたビット A₀ と非選択ビット A₁ に分割されるとき、A₁ が A₀ に対してアルゴリズム的にランダムのままであることを確立している。この独立性の性質は、再帰的でない、適応的選択規則でさえも、ランダムシーケンスから情報を取り出すことはできないことを確認する。

ABSTRACT

A bounded Kolmogorov-Loveland selection rule is an adaptive strategy for recursively selecting a subsequence of an infinite binary sequence; such a subsequence may be interpreted as the query sequence of a time-bounded Turing machine. In this paper we show that if A is an algorithmically random sequence, A_0 is selected from A via a bounded Kolmogorov-Loveland selection rule, and A_1 denotes the sequence of nonselected bits of A, then A_1 is independent of A_0; that is, A_1 is algorithmically random relative to A_0. This result has been used by Kautz and Miltersen [1] to show that relative to a random oracle, NP does not have p-measure zero (in the sense of Lutz [2]). [1] S. M. Kautz and P. B. Miltersen. Relative to a random oracle, NP is not small. Journal of Computer and System Sciences, 53:235-250, 1996. [2] J. H. Lutz. Almost everywhere high nonuniform complexity. Journal of Computer and System Sciences, 44:220-258, 1992.

研究の動機と目的

• さまざまな部分列選択規則の下でのアルゴリズム的ランダムシーケンスの独立性特性を調査すること。
• ランダムシーケンスから選択された部分列がアルゴリズム的にランダムである条件を特定すること。
• 有界なコルモゴロフ＝ロヴェランド規則の下で、非選択部分列が選択済み部分列に対してランダムのままであることを確立すること。
• ランダムオракルを用いた複雑性理論的応用の基礎的結果を提供すること。
• ランダムシーケンスは自分自身の一部に関する利用可能な情報を含んでいないという直感を形式化すること。

提案手法

• 有界なコルモゴロフ＝ロヴェランド選択規則を、過去の履歴と関数 F に基づいてビットを選択する適応的で再帰的でない戦略として定義する。
• 選択済みビットと非選択ビットの状態を追跡するため、列 αₖ と βₖ の再帰的構成を用いる。
• 選択規則とランダムシーケンス A 間の相互作用をモデル化するため、補助列 σ と τ を導入する。
• 段階 k における帰納法を用いて不変性を証明する：αₖ は A の接頭辞であり、αₖ* も A の接頭辞であり、選択規則はオракル B と一貫性を保つ。
• 関数 S(σ, τ) の収束を用いて、選択プロセスが矛盾なく無限に拡張可能であることを検証する。
• 相対的アルゴリズム的ランダムネスとヴァン・ランバーレンの定理を用いて、A₀ と A₁ 間の独立性を形式化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような選択規則のもとで、選択された部分列の補集合が、選択された部分列に対してアルゴリズム的にランダムになるか？
• RQ2 非再帰的で適応的な選択戦略のもとでも、ランダムシーケンスの選択済み部分と非選択済み部分の独立性は保たれるか？
• RQ3 有界なコルモゴロフ＝ロヴェランド選択規則は、非選択部分列のアルゴリズム的ランダムネスを保つのか？
• RQ4 この独立性の性質を用いて、ランダムオラクルに関する NP の構造に関する複雑性理論的結果を導くことができるか？
• RQ5 この結果は、ランダムシーケンスのためのミーゼス＝チャーチの確率的性質をどのように強化または一般化するか？

主な発見

• 任意のアルゴリズム的ランダムシーケンス A に対して、A₀ が有界なコルモゴロフ＝ロヴェランド規則で選択された場合、A₁（非選択ビット）は A₀ に対してアルゴリズム的にランダムである。
• 選択規則が非再帰的であっても、A₀ と A₁ の独立性が保たれることから、適応的選択においてもランダムネスの堅牢性が示される。
• 証明は、選択規則、オラクル B、および目的のシーケンス A 間の一貫性を維持する再帰的プロセスを構築する。
• この結果は、時間制限付きチューリングマシンが、選択されたクエリーシーケンスから非選択ビットに関する有用な情報を抽出することはできないことを示唆する。
• この独立性の性質を用いて、指数時間クラスにおいて、ランダムオラクルに関して NP が p-測度ゼロでないことを示す。
• この結果は、以前のランダムオラクルに関する P ≠ NP の結果を、ランダムシーケンス内の情報含量のより洗練された分析によって強化する。