[論文レビュー] Independent and Hitting Sets of Rectangles Intersecting a Diagonal Line

José Correa, Laurent Feuilloley+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2013

Computational Geometry and Mesh Generation被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、対角線と交差する軸に平行な長方形の族における最大独立集合（MIS）を求める問題がNP完全であることを確立し、長方形が対角線の下側と交差する場合の重み付きMISに対してO(n²)時間のアルゴリズムを提示し、MISと最小被覆集合（MHS）の間の双対ギャップが2から4の間にあることを証明し、先行研究の境界を改善し、この設定における重み付きMISの2近似アルゴリズムを導出する。

ABSTRACT

Abstract. Finding a maximum independent set (MIS) of a given fam-ily of axis-parallel rectangles is a basic problem in computational geom-etry and combinatorics. This problem has attracted significant atten-tion since the sixties, when Wegner conjectured that the corresponding duality gap, i.e., the maximum possible ratio between the maximum independent set and the minimum hitting set (MHS), is bounded by a universal constant. An interesting special case, that may prove use-ful to tackling the general problem, is the diagonal-intersecting case, in which the given family of rectangles is intersected by a diagonal. Indeed, Chepoi and Felsner recently gave a factor 6 approximation algorithm for MHS in this setting, and showed that the duality gap is between 3/2 and 6. In this paper we improve upon these results. First we show that MIS in diagonal-intersecting families is NP-complete, providing one smallest subclass for which MIS is provably hard. Then, we derive an O(n2)-time algorithm for the maximum weight independent set when, in addition the rectangles intersect below the diagonal. This improves and extends a classic result of Lubiw, and amounts to obtain a 2-approximation algo-rithm for the maximum weight independent set of rectangles intersecting a diagonal. Finally, we prove that for diagonal-intersecting families the duality gap is between 2 and 4. The upper bound, which implies an approximation algorithm of the same factor, follows from a simple com-binatorial argument, while the lower bound represents the best known lower bound on the duality gap, even in the general case. An extended abstract of a preliminary version of this work appears in the proceedings

研究の動機と目的

• 対角線と交差する長方形の族における最大独立集合（MIS）問題の計算複雑性を特定すること。
• すべての長方形が対角線の下側と交差する制約下で、最大重み独立集合を効率的に計算するアルゴリズムを開発すること。
• 対角線と交差する長方形族におけるMISと最小被覆集合（MHS）の双対ギャップの境界を厳密にすること。
• この幾何的設定における重み付きMISの近似因子を、先行研究を上回るように改善すること。

提案手法

• 既知のNP完全問題への帰着を用いて、対角線と交差する長方形族におけるMISのNP完全性を証明する。
• すべての長方形が対角線の下側と交差するという制約下で、O(n²)時間の動的計画法アルゴリズムを設計する。
• 区間構造とネスト性の組み合わせ的性質に基づく議論を用いて、双対ギャップの上界が4であることを確立する。
• 双対ギャップが少なくとも2であることを示すタイトな例を構築し、下界を確立する。
• 対角線と交差する長方形の構造的性質を活用して、Lubiwの古典的未重みMIS結果を拡張する。
• アルゴリズム的結果と双対ギャップの境界を組み合わせることで、対角線と交差する長方形族における重み付きMISの2近似を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対角線と交差する長方形の族における最大独立集合問題はNP完全か？
• RQ2 すべての長方形が対角線の下側と交差する場合に、最大重み独立集合を効率的に計算するアルゴリズムを設計できるか？
• RQ3 対角線と交差する長方形族における双対ギャップ（MIS/MHS比）の最もタイトな上界は何か？
• RQ4 この設定における重み付きMISの近似因子を、先行研究を上回るように改善できるか？
• RQ5 この幾何的設定における双対ギャップの最良既知の下界は何か？

主な発見

• 軸に平行な長方形が対角線と交差する族における最大独立集合問題は、この文脈で知られている最小のNP完全クラスを特定し、NP完全であることが判明した。
• すべての長方形が対角線の下側と交差する場合に、最大重み独立集合を計算するO(n²)時間のアルゴリズムが提示され、Lubiwの結果が拡張された。
• 対角線と交差する長方形族における双対ギャップは最大4であることが証明され、重み付きMISの2近似アルゴリズムが得られた。
• 双対ギャップが少なくとも2であることが示され、これは任意の長方形の一般ケースでさえも、この比に対する最良既知の下界である。
• 上界4は、交差する長方形の構造的分解に基づく単純な組み合わせ的議論から導出された。
• 本論文は、双対ギャップの境界を[3/2, 6]から[2, 4]に厳密にし、この設定における重み付きMISの多項式時間2近似アルゴリズムを提供することで、先行研究を改善した。