[論文レビュー] Index and Spectral Theory for Manifolds with Generalized Fibred Cusps

Boris Vaillant|ArXiv.org|Feb 8, 2001

Advanced Operator Algebra Research参考文献 20被引用数 47

ひとこと要約

本稿では、$φ$-計算を用いて一般化された織り込みカスプを持つ多様体上のディラック作用素のインデックス理論およびスペクトル理論を展開する。正則関数の解の解析的接続と熱核の構成により、空間的無限遠における垂直および水平ディラック作用素の$η$-不変量を含む明示的な$L^2$-インデックス公式を証明し、局所的に対称的でない空間へのミュラーの結果の一般化を達成する。

ABSTRACT

Generalizing work of W. Müller we investigate the spectral theory for the Dirac operator D on a noncompact manifold X with generalized fibred cusps $$ C(M)=M imes [A,\infty[_r, g= d r^2+ ϕ^*g_Y+ e^{-2cr}g_Z, $$ at infinity. Here $ϕ:M^{h+v} o Y^h$ is a compact fibre bundle with fibre Z and a distinguished horizontal space HM. The metric $g_Z$ is a metric in the fibres and $g_Y$ is a metric on the base of the fibration. We also assume that the kernel of the vertical Dirac operator at infinity forms a vector bundle over $Y$. Using the ``$ϕ$-calculus'' developed by R. Mazzeo and R. Melrose we explicitly construct the meromorphic continuation of the resolvent $G(λ)$ of D for small spectral parameter as a special ``conormal distribution''. From this we deduce a description of the generalized eigensections and of the spectral measure of D. Complementing this, we perform an explicit construction of the heat kernel $[\exp(-tD^2)]$ for finite and small times t, corresponding to large spectral parameter $λ$. Using a generalization of Getzler's technique, due to R. Melrose, we can describe the singular terms in the heat kernel expansion and prove an index formula for D, calculating the extended $L^2$-index of D in terms of the usual local expression, the family eta invariant for the family of vertical Dirac operators at infinity and the eta invariant for the horizontal ``Dirac'' operator at infinity.

研究の動機と目的

• 一般化された織り込みカスプ構造を有する非コンpaktoな多様体に対するディラック作用素のスペクトル理論およびインデックス理論を、ランク1の局所的に対称的空間におけるミュラーの結果を一般化する形で拡張すること。
• $φ$-計算および共型分布を用いて、このような多様体上での解の解析的接続と熱核の厳密な枠組みを構築すること。
• 局所的曲率不変量、垂直ディラック作用素の族の$η$-不変量、および無限遠における水平ディラック作用素の$η$-不変量を用いて、ディラック作用素の明示的な$L^2$-インデックス公式を導出すること。
• この$φ$-計算の枠組みにおいて、ディラック作用素およびその逆作用素の写像性質を確立し、スペクトル分解と解の解析的接続の分析を可能にする。

提案手法

• 著者は、境界定義関数として$x = e^{-cr}$を用いて、無限遠における織り込みカスプを持つ多様体をコンパクト化し、計量を退化する$φ$-計量$g_d$に変換する。
• $φ$-計算を用いて$φ$-微分作用素および$φ$-擬微分作用素を定義し、コンパクト化された空間上でのディラック作用素${\tt D}^d$の解析を可能にする。
• 正則関数の解の解析的接続を$φ$-計算における記号的技法を用いて構成し、フロントフェース（ff）における正規作用素が中心的な役割を果たす。
• 小時間$t$における熱核$\exp(-t{\tt D}^2)$は、二重スケーリング技法と$d$-熱計算を用いて構成され、境界付近および内部における漸近展開が可能になる。
• 熱核展開と$φ$-計算に適応されたゲツラーのスケーリング技法を組み合わせることで、インデックス公式を導出する。これにより、空間的無限遠および内部における特異項を分離する。
• 共型分布とインデックス集合を用いて、一般化された固有関数およびスペクトル測度の漸近的挙動を記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化された織り込みカスプ構造を有する多様体に対して、局所的に対称的空間を超えてディラック作用素のスペクトル理論をどのように拡張できるか。
• RQ2 この幾何的設定下で、ディラック作用素の正則関数の解の解析的接続$G(\lambda)$の正確な形は何か。
• RQ3 特に織り込み境界および内部において、小時間における熱核展開はどのように振る舞うか。
• RQ4 $L^2$-インデックスの構造は、カスプ幾何の幾何的および位相的不変量をどのように記述するか。
• RQ5 垂直ディラック作用素族の$η$-不変量および無限遠における水平ディラック作用素の$η$-不変量を含む明示的なインデックス公式を導出できるか。

主な発見

• ディラック作用素${\tt D}^d$の正則関数$G(\lambda)$は、$φ$-計算の枠組みにおいて$\lambda = 0$の近傍へ正則関数の解析的接続をもち、共型分布として記述可能である。
• 一般化された固有関数およびスペクトル測度は、正則関数の構造とその極を用いて完全に記述可能である。
• 小時間$t$における熱核$\exp(-t{\tt D}^2)$は、$d$-熱計算と二重スケーリングを用いて明示的に構成可能であり、フロントフェース（ff）および織り込み境界（bf）における特異項が分離可能である。
• $L^2$-インデックスは、以下のインデックス公式により計算可能である： $${\rm ind}_{-}({\tt D})=\frac{1}{(2\pi i)^{n/2}}\int_{X}\widehat{A}(R)\mathop{\,\rm Ch}\nolimits(F^{E/S})+\frac{1}{(2\pi i)^{(h+1)/2}}\int_{Y}\widehat{A}(R^{Y})\widehat{\eta}({\tt D}^{V})+\frac{1}{2}\eta({\tt D}_{Y}),$$ この式は、局所的$φ$-特徴類、垂直ディラック作用素族の族$η$-不変量、および無限遠における水平ディラック作用素の$η$-不変量を統合する。
• ${\tt D}^d$の写像性質は、$φ$-計算において完全に特徴付けられる：$\mathcal{A}^{[\circ]I}(X,E)$から$\mathcal{A}^{I}(X,E)$への写像であり、ゼロモードにおける主要項の制御が可能である。
• $b$-ファイブレーションにおける共型関数の引き戻しと押し出しは、厳密に定義可能であり、これにより熱核および正則関数の構成が記号的および漸近的技法を用いて可能になる。