[論文レビュー] Index, eta and rho-invariants on foliated bundles

Moulay-Tahar Benameur, Paolo Piazza|ArXiv.org|Sep 12, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 40被引用数 30

ひとこと要約

本稿は、測度付きfoliation（測度付き葉層構造）の下で、Baum-Connesの仮定の下で、foliated bundle上のsignature作用素に対するfoliated rho不変量のホモトピー不変性を確立している。これは、Galois被覆から測度付きfoliationへの結果の拡張である。本稿では、foliated rho不変量を定義し、その安定性と計量依存性のなさを分析し、Connes-SkandalisのHilbert加群および葉方向Dirac作用素の文脈において、関数計算、von Neumannトレース、およびパラメトリクス技法を用いてホモトピー不変性を証明している。

ABSTRACT

We study primary and secondary invariants of leafwise Dirac operators on foliated bundles. Given such an operator, we begin by considering the associated regular self-adjoint operator $D_m$ on the maximal Connes-Skandalis Hilbert module and explain how the functional calculus of $D_m$ encodes both the leafwise calculus and the monodromy calculus in the corresponding von Neumann algebras. When the foliation is endowed with a holonomy invariant transverse measure, we explain the compatibility of various traces and determinants. We extend Atiyah's index theorem on Galois coverings to these foliations. We define a foliated rho-invariant and investigate its stability properties for the signature operator. Finally, we establish the foliated homotopy invariance of such a signature rho-invariant under a Baum-Connes assumption, thus extending to the foliated context results proved by Neumann, Mathai, Weinberger and Keswani on Galois coverings.

研究の動機と目的

• 測度付きfoliated bundle上のsignature作用素に対するfoliated rho不変量を定義し、その性質を研究すること。
• 葉方向ホモトピーの下で、foliated rho不変量の安定性と計量依存性のなさを確立すること。
• ホロノミー不変な横断的測度を有するfoliated bundleに対して、Atiyahの指数定理を拡張すること。
• 関連する群ガロアのBaum-Connes予想の下で、foliated rho不変量のホモトピー不変性を証明すること。
• von Neumann代数とトレースを用いて、foliated空間の文脈における2次指数不変量（etaおよびrho）を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• 最大のConnes-SkandalisのHilbert加群を用いて、von Neumann代数における葉方向およびモノドロミー計算を符号化する正規自己随伴作用素 $\mathcal{D}_m$ を定義する。
• 関数計算を $\mathcal{D}_m$ に適用し、葉方向Dirac作用素とfoliationのホロノミーおよびモノドロミー構造との関係を明らかにする。
• von Neumannトレース $\tau^\nu_\mathcal{F}$ を用いて、単位的作用素の経路 $\exp(i\pi\chi(\epsilon B_t))$ のトレースを通じて、foliated eta不変量を定義する。
• 特異数推定（FackとKosakiによるもの）を用いて、経路に沿った正規および平均化された行列式の差を比較し、ホモトピー不変性を確立する。
• パラメトリクスに基づくアプローチを用いて指数を局所化し、剰余項 $R_0^N$ および $R_1^N$ を介して、Atiyah-Bottの公式をfoliated設定に適応する。
• 離散群ガロア $T \rtimes \Gamma$ にBaum-Connes写像を適用し、写像の単射性および全射性の仮定の下でホモトピー不変性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホロノミー不変な横断的測度を有するfoliated bundleの文脈において、rho不変量はどのように一般化可能か？
• RQ2 foliated rho不変量は、葉上のRiemann計量に依存しないか？
• RQ3 foliated rho不変量が葉方向ホモトピーに関して不変となる条件は何か？
• RQ4 Galois被覆から測度付きfoliationへと、signature rho不変量のホモトピー不変性を拡張することは可能か？
• RQ5 von Neumann代数の文脈において、トレース $\tau^\nu$ および $\tau^\nu_\mathcal{F}$ は、Dirac作用素の関数計算とどのように作用するか？

主な発見

• foliated rho不変量 $\rho^\nu(D^{\rm sign}; V, \mathcal{F})$ は、foliated bundleの葉上のRiemann計量に依存しない。
• foliated eta不変量は、単位的作用素の経路の微分のトレース、$\tau^\nu_\mathcal{F}\left( \frac{d}{dt} \left[ -\exp(i\pi\chi(\epsilon B_t)) \right]_{N_\epsilon} \right)$ を通じて定義され、von Neumann代数の文脈において適切に定義可能であることが示された。
• 正規行列式と平均化された行列式の差は、特異数推定により制御され、$\epsilon \to 0$ のとき0に収束することが保証される。
• 群ガロア $T \rtimes \Gamma$ に対するBaum-Connes写像が同型であるという仮定の下で、foliated rho不変量のホモトピー不変性が確立された。
• 証明は、行列式の差を3つの項 $A_\epsilon$、$B_\epsilon$、$C_\epsilon$ に分割することに依存し、$B_\epsilon = 0$ であるのは伝搬制御のおかげで、$A_\epsilon, C_\epsilon \to 0$ であることが $\epsilon \to 0$ のとき示された。
• 鍵となる技術的ステップは、$L^1$ノルムの差 $\chi(\tilde{B}_s) - \chi(\epsilon \tilde{B}_s)$ を、$p$ 次元の葉に対して $\mu_s(\tilde{D}') \sim s^{2/p}$ という漸近的挙動を用いて特異数推定に還元することであった。