[論文レビュー] Index iteration theory for symplectic paths with applications to nonlinear Hamiltonian systems

Yiming Long|ArXiv.org|Apr 18, 2003

Numerical methods for differential equations参考文献 32被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、シンプレクティック行列路に対するインデックス反復理論を確立し、退化および反復路へのコンラス・ゼンダー指数の拡張を図る。この理論を用いて、R^{2n} 内の星型および凸超曲面上の閉じた特徴的軌道の多重性を証明し、特定の条件下で少なくとも [n/2]+1 個の幾何学的に異なる閉軌道が存在することを示す。非線形ハミルトニアン系および周期的解への応用を含む。

ABSTRACT

In recent years, we have established the iteration theory of the index for symplectic matrix paths and applied it to periodic solution problems of nonlinear Hamiltonian systems. This paper is a survey on these results.

研究の動機と目的

• 退化ケースを含むシンプレクティック行列路に対する包括的なインデックス反復理論の構築。
• 非線形ハミルトニアン系の変分法において無限大のモーツィング指数が生じる問題を克服すること。
• 反復によるコンラス・ゼンダー指数の利用を通じて、周期的軌道の幾何的多重性と安定性を研究すること。
• 凸および星型超曲面上の幾何学的に異なる閉じた特徴的軌道の数に対する定量的下界を確立すること。
• 理論を応用し、特にピンチング条件および非退化条件の下で、ハミルトニアン系における周期的解の存在および多重性に関する結果を証明すること。

提案手法

• P_τ(2n) 内のシンプレクティック路に対して ω-インデックスと ω-ノルティーを定義し、退化路へのコンラス・ゼンダー指数の一般化を図る。
• ホモトピー類を通じてインデックスの向きと交差数を定義するための特別な路 ζ(t) を導入する。
• 反復公式を確立：z ∈ U に対して i_z(γ^m) = ∑_{ω^m=z} i_ω(γ) および ν_z(γ^m) = ∑_{ω^m=z} ν_ω(γ)。
• 共通インデックスジャンプ定理を用いて、反復路におけるインデックス区間の重なりを推定する。
• 双対作用関数への理論の応用を通じて、閉じた特徴的軌道上での臨界値を数えるためにインデックスジャンプを用いる。
• 反復インデックスレベルにおけるモーツィング理論とリーストゥルニク＝シュナイレルマン型の議論を組み合わせ、幾何的軌道を区別する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特に退化が生じる場合に、シンプレクティック路における反復の下でのインデックスの構造は何か？
• RQ2 反復理論は、凸超曲面上の幾何学的に異なる閉じた特徴的軌道を数えるのにどのように利用できるか？
• RQ3 R^{2n} 内のコンパクトな星型超曲面における幾何学的に異なる閉じた特徴的軌道の最小数は何か？
• RQ4 インデックス反復理論は、ピンチング条件の下で少なくとも2つの楕円型閉じた特徴的軌道の存在を証明できるか？
• RQ5 特に非退化の場合に、閉じた特徴的軌道の総数と次元 n の関係は何か？

主な発見

• インデックス反復理論はボットの公式をシンプレクティック路に一般化し、i_z(γ^m) = ∑_{ω^m=z} i_ω(γ) および ν_z(γ^m) = ∑_{ω^m=z} ν_ω(γ) を与える。
• R^{2n} 内の C² 星型超曲面 Σ に対して、すべての閉じた特徴的軌道およびその反復が非退化ならば、#T(Σ) ≥ 2 が成り立つ。
• #T(Σ) < ∞ かつ n ≥ 2 のとき、#T(Σ) ≥ 2 であり、Σ 上に少なくとも2つの楕円型閉じた特徴的軌道が存在する。
• #T(Σ) ≤ 2[n/2] の条件下で、理論により少なくとも2つの楕円型閉じた特徴的軌道の存在が証明される。
• 理論は、Σ ∈ H(2n) 上の幾何学的に異なる閉じた特徴的軌道の数が {[n/2]+1, ..., n} ∪ {+∞} の範囲にあるという予想を支持する。
• 共通インデックスジャンプ定理により、インデックス区間内の整数を数えることができ、閉じた特徴的軌道の数に対する下界が得られる。