[論文レビュー] Index theorem for inhomogeneous hypoelliptic differential operators

Omar Mohsen|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2020

Advanced Operator Algebra Research参考文献 30被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、Rockland 条件を満たす接 bundle のフィルトレーションを持つ多様体上における非一様な超局所微分作用素のインデックス定理を確立する。Van-Erp の接触多様体に対する手法を一般化することで、任意のフィルトレーションに対して変形群作用素を構成し、解析的インデックスが主記号の Connes-Thom の逆写像に適用した Atiyah-Singer インデックスに等しいことを証明する。これにより、非接触的で高次の可解な構造に対してもインデックス公式が拡張される。

ABSTRACT

We prove an index theorem for inhomogeneous differential operators satisfying the Rockland condition (hence hypoelliptic). This theorem extends an index theorem for contact manifolds by Van-Erp.

研究の動機と目的

• 接触多様体における Van-Erp のインデックス定理を、任意のフィルタリングされた多様体と超局所作用素に一般化すること。
• 接触的でない状況にまで一般化された接群作用素フレームワークを拡張するため、一般のフィルトレーションに対して変形群作用素を構成すること。
• Connes-Thom 同型を用いて、$H$-楕円型微分作用素の解析的インデックスに対する位相的公式を確立すること。
• 局所定数でない可解群バンドルに対する連続的場の不可約表現の構成における障害を、より大きな群 $\bar{G}_x$ への埋め込みによって解消すること。
• Rockland 作用素の解析的インデックスが、その主記号の逆 Connes-Thom 影像に適用した Atiyah-Singer インデックスに等しいことを証明すること。

提案手法

• 接 bundle の任意のフィルトレーションに対して変形群作用素を構成し、接触多様体に対する Van-Erp の構成を一般化する。
• 微分作用素の主記号を、$\oplus_{i=1}^r H^i_x / H^{i-1}_x$ 上の等変微分作用素として定義する。
• 可解群の $C^*$-代数における主記号の可逆性と超局所性の基準として Rockland 条件を用いる。
• 局所可解群 $G_x$ を中心的完全列を介してより大きな群 $\bar{G}_x$ に埋め込むことで、不可約表現の構成を可能にする。
• Connes-Thom 同型 $K(C_0(\mathfrak{g}^*)) \xrightarrow{\operatorname{Ind}_G} K(C^*G)$ を用いて記号類と $K$-理論を関連付ける。
• 解析的インデックスが $\operatorname{Ind}_{AS}(\operatorname{Ind}_G^{-1}([\sigma(D)]))$ で与えられることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 接触多様体におけるインデックス定理を、接 bundle の任意のフィルトレーションを持つ一般のフィルタリング多様体に拡張することは可能か？
• RQ2 非接触的で高次の可解な構造に対して一貫性のある変形群作用素を定義する方法は何か？
• RQ3 非接触状況における主記号と解析的インデックスを関連付ける際、Connes-Thom 同型が果たす役割は何か？
• RQ4 群バンドルが局所定数でない場合、連続的場の不可約表現を構成する障害をどのように克服できるか？
• RQ5 一般のフィルタリング設定においても、Rockland 条件が Fredholm 性を保証し、位相的インデックス公式を可能にするか？

主な発見

• コンパクト多様体上での $H$-楕円型微分作用素 $D$ の解析的インデックスは、$\operatorname{Ind}_{AS}(\operatorname{Ind}_G^{-1}([\sigma(D)]))$ で与えられ、Van-Erp の公式が任意のフィルトレーションに拡張される。
• 一般のフィルトレーションに対する変形群作用素の構成は可能であり、接触の場合に一般化されていることが [vEY17, CP15, Moh18] で示されている。
• 主記号 $[\sigma(D)]$ は $K(C^*\oplus_{i=1}^r H^i/H^{i-1})$ のクラスを定め、これは Connes-Thom 同型により $K(C_0(\mathfrak{g}^*))$ に写像される。
• 任意の $x \in M$ に対して、群 $G_x = \oplus_{i=1}^r H^i_x / H^{i-1}_x$ は階数付き可解リー群であり、その表現論は $\bar{G}_x$ への埋め込みによって拡張され、不変性が保証される。
• Rockland 条件により、すべての非自明なユニタリ表現 $\pi$ に対して $\pi(\sigma(D))$ が単射であることが保証され、これは $D$ の超局所性と Fredholm 性を意味する。
• 自由カルノー群の埋め込みを用いた射影の上昇手続きを用いて、Connes-Thom 同型の逆が構成され、[CGGP92] の結果が局所定数でないバンドルへ一般化される。