[論文レビュー] Index theorem for Z/2-harmonic spinors

Ryosuke Takahashi|arXiv (Cornell University)|May 4, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、3次元コンpakト多様体上のℤ/2-調和スピンルを対象とし、Kuranishi型構造とインデックス理論を用いて、一般のリーマン計量のもとでそのモジュライ空間の仮想次元が0であることを確立する。さらに、インデックス定理を用いて4次元多様体上での仮想次元を計算し、ゲージ理論および幾何解析における既知の結果と整合することを確認する。

ABSTRACT

In my previous paper, I prove the existence of the Kuranishi structure for the moduli space $\mathfrak{M}$ of zero loci of $\mathbb{Z}/2$-harmonic spinors on a 3-manifold. So a nature question we can ask is to compute the virtual dimension for this moduli space $\mathfrak{M}_{g_0}:=\mathfrak{M}\cap\{g=g_0\}$. In this paper, I will first prove that $v-dim(\mathfrak{M}_{g_0})=0$. Secondly, I will generalize this formula on 4-manifolds by using a special type of index developed by Jochen Bruning, Robert Seeley, and Fangyun Yang.

研究の動機と目的

• コンパクト3次元多様体上におけるℤ/2-調和スピンルのモジュライ空間の仮想次元を確立すること。
• インデックス理論を用いて、4次元多様体への解析を拡張し、ℤ/2-調和スピンルの仮想次元を計算すること。
• 3次元および4次元多様体上におけるゲージ理論的方程式の収束しない解の列を理解するための基盤的ツールを提供すること。
• G₂インスタントンと関連するマルチスピンルセイバーウェン・イェンス方程式やジョーンズ多項式の計算と関連する幾何解析の予想を支援すること。
• 指定された特異集合を持つℤ/2-調和スピンルを用いて、解の特異極限の振る舞いを形式化すること。

提案手法

• バナッハ空間枠組みとフレッシェ微分可能な写像を用いて、3次元多様体上におけるℤ/2-調和スピンルのモジュライ空間ℳのKuranishi型構造を構築する。
• バナッハ多様体における陰関数定理を適用し、一般計量のもとでモジュライ空間が局所的に0次元的対象をモデル化することを示す。
• Bruning–SeeleyおよびYangのインデックス定理を用いて、特に2トーラスの補集合上での自己双対調和スピンルに対して、4次元多様体上での仮想次元を計算する。
• 特異集合Σにおけるディラック作用素の核および余核を、漸近展開と射影作用素を用いて分析する。
• L²スピンルの分解をディラック作用素の像と核に分け、S¹上の実内積を用いた双対性により余核要素を定義する。
• 線形化作用素の余核と境界作用素の余核との間の全単射対応を確立し、インデックス計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のリーマン計量のもとで、コンパクト3次元多様体上におけるℤ/2-調和スピンルのモジュライ空間の仮想次元は何か？
• RQ2 特異集合が自明な正規バンドルをもつ2トーラスであると仮定した場合、4次元多様体上におけるℤ/2-調和スピンルの仮想次元はどのように振る舞うか？
• RQ3 Bruning–SeeleyおよびYangのインデックス理論は、高次元におけるℤ/2-調和スピンルの仮想次元を計算するために適用可能か？
• RQ4 線形化作用素の余核と特異集合Σにおける境界データの間にはどのような関係があるか？
• RQ5 特異集合近傍におけるℤ/2-調和スピンルの漸近的挙動は、グローバルなインデックス計算にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 固定された計量g₀におけるモジュライ空間ℳ_g₀の仮想次元は0である。Kuranishiモデルにおいてdim(ℐ₀) = dim(ℐ₁)であるため。
• 単位L²ノルムをもつℤ/2-調和スピンルのモジュライ空間の形式的次元は-1であり、HaydysおよびWalpuskiによるマルチスピンルセイバーウェン・イェンス方程式に関する予想を支持する。
• 4次元多様体上では、ℤ/2-調和スピンルの仮想次元が∫M Â(M) + dim(ker(D⁻|L²₁))として計算され、インデックス定理と整合することが確認された。
• 線形化作用素の余核は、境界作用素の余核とL²₁上でのディラック作用素の核の直和に同型である。
• 合成作用素ℒ_d±∘Bのインデックスが∫M Â(M) + dim(ker(D⁻|L²₁))に等しいことが示され、仮想次元の明確な公式が得られた。
• 証明により、線形化作用素の余核の要素とcoker(𝒯_d±∘B)における境界データとの間の全単射対応が確立され、インデックス写像の定義可能性および全射性が保証された。