[論文レビュー] Index Theory and the Baum-Connes conjecture

Thomas Schick|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、C*-代数的K理論を通じて、多様体上の指数理論と Baum-Connes予想の間に深い接続を確立し、楕円型作用素の解析的指数が多様体の余接 bundle に関連する C*-代数の K 理論に自然に属することを示している。主な貢献は、Baum-Connes予想が真である場合、Novikov予想が導かれ、作用素代数的手法を通じて高次シグニチャの位相的不変性を理解するための枠組みを提供することにある。

ABSTRACT

These notes are based on lectures on index theory, topology, and operator algebras at the "School on High Dimensional Manifold Theory" at the ICTP in Trieste, and at the Seminari di Geometria 2002 in Bologna. We describe how techniques coming from the theory of operator algebras, in particular $C^*$-algebras, can be used to study manifolds. Operator algebras are extensively studied in their own right. We will focus on the basic definitions and properties, and on their relevance to the geometry and topology of manifolds. The link between topology and analysis is provided by index theorems. Starting with the classical Atiyah-Singer index theorem, we will explain several index theorems in detail. Our point of view will be in particular, that an index lives in a canonical way in the K-theory of a certain $C^*$-algebra. The geometrical context will determine, which $C^*$-algebra to use. A central pillar of work in the theory of $C^*$-algebras is the Baum-Connes conjecture. Nevertheless, it has important direct applications to the topology of manifolds, it impliese.g. the Novikov conjecture. We will explain the Baum-Connes conjecture and put it into our context. Several people contributed to these notes by reading preliminary parts and suggesting improvements, in particular Marc Johnson, Roman Sauer, Marco Varisco und Guido Mislin. I am very indebted to all of them. This is an elaboration of the first chapter of the author's contribution to the proceedings of the above mentioned "School on High Dimensional Manifold Theory" 2001 at the ICTP in Trieste.

研究の動機と目的

• C*-代数とK理論が Atiyah-Singer の指数定理およびその一般化において果たす役割を明確化すること。
• 楕円型作用素の指数が、多様体に関連する C*-代数の K 理論の自然な元として定義されることを説明すること。
• Baum-Connes予想を作用素代数的位相の中心的柱とし、Novikov予想へのその影響を提示すること。
• 実 C*-代数と実 K 理論への枠組みの拡張を図り、8周期的 Bott の周期性および実 Baum-Connes アセンブリーマップを含むこと。

提案手法

• 楕円型微分作用素の記号写像を用いて、相対 K 理論 $K^0(DT^*M, ST^*M)$ の元を定義する。
• 多様体 $M$ の普遍被覆の縮小 C*-代数 $C^*_{\text{r}}\tilde{M}$ の K 理論を用いて解析的指数を構成する。
• C*-代数の K 理論の文脈において、位相的指数と解析的指数を結ぶ Atiyah-Singer の指数定理を適用する。
• 実 Hilbert 空間の使用および 8周期的 Bott 同型を含め、複素 C*-代数技術を実 C*-代数に適応する。
• 実 Baum-Connes アセンブリーマップ $\mu_n: KO_n^\Gamma(E(\Gamma,\text{fin})) \to KO_n(C^*_{\mathbb{R},r}\Gamma)$ の定式化と、複素版との関係を提示する。
• K 理論における長完全系列と五つの補題を用いて、複素および実設定間での Baum-Connes 写像の単射性と全射性の関係を関係づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多様体上の楕円型作用素の指数は、どのように自然に C*-代数の K 理論に埋め込まれるか？
• RQ2 Baum-Connes予想が Novikov予想を確立するために果たす正確な役割は何か？
• RQ3 C*-代数とK理論の理論は、複素係数から実係数へどのように拡張され、Bott周期性にどのような変更が生じるか？
• RQ4 等変 KO-ホモロジーおよび実 K 理論との関係において、実 Baum-Connes アセンブリーマップの意義は何か？
• RQ5 Baum-Conjecture 写像の単射性および全射性に関する既知の結果は、複素設定と実設定の間でどのように移行するか？

主な発見

• 楕円型作用素の解析的指数は、多様体 $M$ の普遍被覆の縮小 C*-代数 $C^*_{\text{r}}\tilde{M}$ の K 理論に自然に属する。
• Baum-Connes予想は Novikov予想を含意しており、高次シグニチャのホモトピー不変性を研究する強力な道具を提供する。
• 実 C*-代数においては、Bott周期性の周期は 2 ではなく 8 であり、8周期的 K 理論枠組みが得られる。
• 実 Baum-Connes アセンブリーマップ $\mu_n: KO_n^\Gamma(E(\Gamma,\text{fin})) \to KO_n(C^*_{\mathbb{R},r}\Gamma)$ が同型であるための必要十分条件は、複素版が同型であることである。これは五つの補題および証明の整合性による。
• 実 C*-代数の K 理論における長完全系列は、8周期的構造のおかげで 24 項の巡回完全系列に拡張される。
• 楕円型作用素の記号の構成は、$K^0(DT^*M, ST^*M)$ に一意に定義された元をもたらし、K 理論を通じて幾何と位相を結ぶ。