[論文レビュー] Index theory for locally compact noncommutative geometries

Alan L. Carey, Victor Gayral+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2011

Advanced Operator Algebra Research参考文献 49被引用数 55

ひとこと要約

本稿は、半有限非可換幾何における非単位元をもつ代数上のスペクトル三重対について、局所的インデックス公式を確立する。これは、局所的単位元の存在を仮定しない条件下で、コンネス＝モスコビチの公式を非単位元の場合にまで拡張したものである。著者らは、重み領域とシャテンノルムとを両立させる洗練された擬微分作用素の計算および統合理論を構築し、局所的単位元の仮定なしに公式を証明した。これにより、非コンパクトかつ非可換幾何におけるインデックスペアリングが可能となり、有界幾何をもつ多様体や非単位元の非可換例（例えばモーヤル平面）への応用が可能となる。

ABSTRACT

Spectral triples for nonunital algebras model locally compact spaces in noncommutative geometry. In the present text, we prove the local index formula for spectral triples over nonunital algebras, without the assumption of local units in our algebra. This formula has been successfully used to calculate index pairings in numerous noncommutative examples. The absence of any other effective method of investigating index problems in geometries that are genuinely noncommutative, particularly in the nonunital situation, was a primary motivation for this study and we illustrate this point with two examples in the text. In order to understand what is new in our approach in the commutative setting we prove an analogue of the Gromov-Lawson relative index formula (for Dirac type operators) for even dimensional manifolds with bounded geometry, without invoking compact supports. For odd dimensional manifolds our index formula appears to be completely new. As we prove our local index formula in the framework of semifinite noncommutative geometry we are also able to prove, for manifolds of bounded geometry, a version of Atiyah's L^2-index Theorem for covering spaces. We also explain how to interpret the McKean-Singer formula in the nonunital case. In order to prove the local index formula, we develop an integration theory compatible with a refinement of the existing pseudodifferential calculus for spectral triples. We also clarify some aspects of index theory for nonunital algebras.

研究の動機と目的

• 局所的単位元の存在を仮定しない非単位元代数へのコンネス＝モスコビチの局所的インデックス公式の拡張を達成すること。これは、従来の方法が局所的単位元の欠如により失敗していたためである。
• 非単位元設定において、重み領域とシャテンノルムとを両立させる擬微分作用素の計算および統合理論を構築すること。
• 非コンパクトかつ非可換幾何に適した、非単位元版のマクキャニー・シンガー公式と、有界幾何をもつ多様体の被覆空間における$L^2$-インデックス定理の証明をすること。
• 局所コンパクトかつ非コンパクト、非可換空間におけるインデックス理論の統一的枠組みを提供すること。
• オープン多様体や非可換例（例えばモーヤル平面、トーラス作用）への応用を通じて、公式の実用的価値を示すこと。

提案手法

• テイム作用素に対する重み領域とシャテンノルム推定を用いた、スペクトル三重対の洗練された擬微分作用素の計算を構築する。
• 半有限設定における局所的インデックス公式を定義するために、リゾルベントおよび残留コチェーンの構成を導入する。
• ディラック作用素$\mathcal{D}$の逆元が存在しない場合に対処するため、二重構成と削減コチェーンを用いる。
• 補助的コチェーンとホモトピーを用いて、リゾルベントコチェーンの連続性およびトランスグレッションを、チェーン類にまで持ち込む。
• 分数乗の積分公式と漸近展開を用いて、作用素ノルムとトレースの微分可能性を制御する。
• Hölder不等式と$\mathcal{L}^q(\mathcal{N}, \tau)$におけるノルム推定を用いて、主要な作用素族のトレースノルム微分可能性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンネス＝モスコビチの局所的インデックス公式を、局所的単位元の存在を仮定しない非単位元スペクトル三重対に拡張することは可能か？
• RQ2 半有限非可換幾何において、非単位元版のマクキャニー・シンガー公式をどのように定式化し、証明できるか？
• RQ3 有界幾何をもつ奇数次元多様体における局所的インデックス公式の構造は何か？また、偶数次元の場合とはどのように異なるか？
• RQ4 モーヤル平面のような真に非単位元の非可換幾何において、インデックスペアリングをどのように計算できるか？
• RQ5 重み領域とシャテンノルムは、非単位元スペクトル三重対の整合的な統合理論を構築する上で、果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、半有限フォン・ノイマン代数上の非単位元スペクトル三重対について、局所的インデックス公式を確立した。この公式は、代数に局所的単位元が存在しない場合でも成立する。
• 非単位元版のマクキャニー・シンガー公式が証明され、非単位元設定においても、熱核トレースを用いたインデックスペアリングの計算が可能となった。
• 有界幾何をもつ多様体に対して、被覆空間における$L^2$-インデックス定理が証明された。これはアティヤの結果を非単位元の場合にまで拡張したものである。
• 奇数次元におけるインデックス公式が導出され、本稿ではこれがこの文脈で初めての例と見なされる。既知の偶数次元結果を超えて拡張されている。
• モーヤル平面は滑らかに和分可能なスペクトル三重対をもつことが示され、局所的インデックス公式により、この非可換例におけるインデックスペアリングに対して明示的な解析的表現が得られた。
• 証明は、新規の統合理論と擬微分作用素に対するシャテンノルム推定に依拠しており、Hölderおよび積分推定を用いて、トレースノルムの微分可能性が確立された。