[論文レビュー] Index theory of uniform pseudodifferential operators

Alexander Engel|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2015

Advanced Operator Algebra Research参考文献 13被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、可解多様体に対するRoeの指数定理を、有界幾何の多様体上の多重次数付き、楕円型、対称的、一様な擬微分作用素へ一般化する。一様推移的推定を組み込んだ局所的指数公式を確立する。主な貢献は、一様K理論と一様Kホモロジーの間のPoincaré双対性同型写像を、Chern特徴類を用いて示したもので、一様K理論とKホモロジーのPoincaré双対性を証明するための特注のMayer–Vietoris帰納法と、完成化されたde Rhamコホモロジー理論を用いている。

ABSTRACT

We generalize Roe's index theorem for graded generalized Dirac operators on amenable manifolds to multigraded elliptic uniform pseudodifferential operators. This generalization will follow as a corollary from a local index theorem that is valid on any manifold of bounded geometry. This local formula incorporates the uniform estimates that are present in the definition of our class of pseudodifferential operators which is more general than similar classes defined by other authors. We will revisit Spakula's uniform K-homology and show that multigraded elliptic uniform pseudodifferential operators naturally define classes in it. For this we will investigate uniform K-homology more closely, e.g., construct the external product and show invariance under weak homotopies. The latter will be used to refine and extend Spakula's results about the rough Baum-Connes assembly map. We will identify the dual theory of uniform K-homology. We will give a simple definition of uniform K-theory for all metric spaces and in the case of manifolds of bounded geometry we will give an interpretation of it via vector bundles of bounded geometry. Using a version of Mayer-Vietoris induction that is adapted to our needs, we will prove Poincare duality between uniform K-theory and uniform K-homology for spin-c manifolds of bounded geometry. We will construct Chern characters from uniform K-theory to bounded de Rham cohomology and from uniform K-homology to uniform de Rham homology. Using the adapted Mayer-Vietoris induction we will also show that these Chern characters induce isomorphisms modulo torsion.

研究の動機と目的

• 可解多様体上の一般化されたディラック作用素に対して元々成立していたRoeの指数定理を、任意の有界幾何の多様体上の多重次数付き、楕円型、対称的一様擬微分作用素へ拡張すること。
• 作用素クラスからの一様推定を組み込むことにより、可解性の仮定を必要としない、すべての有界幾何の多様体上で有効な局所的指数公式を確立すること。
• 特に有界幾何の多様体を対象とする、距離空間における一様Kホモロジーと一様K理論を定義・研究し、Chern特徴類を用いてそれらのPoincaré双対性を証明すること。
• 一様Kホモロジーにおけるホモトピー不変性と外部積構造を用いて、Špakulaの粗い Baum–Connesアセンブルマップを精緻化・拡張すること。
• 一様K理論から有界de RhamコホモロジーへのChern特徴類と、一様Kホモロジーから一様de RhamホモロジーへのChern特徴類を構成し、それらが完成化および torsion 残差を除いた後に同型写像を誘導することを示すこと。

提案手法

• 有界幾何の多様体上の、その核関数と記号推定における一様性条件によって定義される、一様擬微分作用素の新しいクラスを導入する。
• 一様有界で楕円型な作用素のサイクルを用いて一様Kホモロジーを定義し、弱ホモトピーに関して外部積とホモトピー不変性を確立する。
• 一様K理論とKホモロジーに適したMayer–Vietoris帰納法のバージョンを構成し、有界幾何のスピン^c多様体におけるPoincaré双対性の証明を可能にする。
• Connesの循環コホモロジーを用いて有界de Rhamコホモロジーと一様de Rhamホモロジーを定義し、適応されたMayer–Vietoris枠組みを用いてそれらの双対性を確立する。
• 一様K理論から有界de RhamコホモロジーへのChern特徴類と、一様Kホモロジーから一様de RhamホモロジーへのChern特徴類を構成し、それらが完成化および torsion 残差を除いた後に同型写像を誘導することを示す。
• Dirac類とのカップ積、Chern特徴類、および有界de Rhamコホモロジーにおける位相的指数クラスを含む可換図式を用いて、局所的指数公式を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可解多様体におけるRoeの指数定理は、任意の有界幾何の多様体上の多重次数付き、楕円型、対称的一様擬微分作用素へ一般化可能か？
• RQ2 このような作用素を自然に分類する一様Kホモロジー理論は存在するか？ そして、Špakulaの元来の構成とはどのように関係するか？
• RQ3 適切なMayer–Vietoris帰納法を用いて、有界幾何のスピン^c多様体において、一様K理論と一様Kホモロジーの間のPoincaré双対性を確立できるか？
• RQ4 一様K理論およびKホモロジーから有界および一様de Rham（コ）ホモロジーへのChern特徴類は、完成化および torsion 残差を除いた後に同型写像を誘導するか？
• RQ5 この枠組みは境界を持つ多様体へ拡張可能か？ そして、Atiyah–Patodi–Singer指数定理の類似の大規模なアナロジーが存在し、η不変量の一般化が可能か？

主な発見

• 可解性の仮定を必要とせず、任意の有界幾何の多様体上で、多重次数付き、楕円型、対称的一様擬微分作用素に対して局所的指数公式が確立された。
• 一様Kホモロジーが弱ホモトピーに関して不変であり、適切に定義された外部積を備えていることが示され、Špakulaの元来の構成が精緻化された。
• 特注のMayer–Vietoris帰納法を用いて、有界幾何のスピン^c多様体において、一様K理論と一様Kホモロジーの間のPoincaré双対性が証明された。
• 一様K理論から有界de RhamコホモロジーへのChern特徴類と、一様Kホモロジーから一様de RhamホモロジーへのChern特徴類が構成され、それらが完成化および torsion 残差を除いた後に同型写像を誘導することが示された。
• 有界de Rhamコホモロジーにおける位相的指数クラスが、一様Roe代数上のトレースに関して解析的指数に対応することが示され、Roeの結果が一様擬微分作用素の全クラスへ一般化された。
• この枠組みは、境界を持つ非コンパクト多様体への指数理論の拡張の基盤を提供し、Atiyah–Patodi–Singer定理の一般化および $b$-計算への潜在的拡張が可能である。