[論文レビュー] Indices of pseudodifferential operators on open manifolds

Alexander Engel|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 1被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、有界幾何の多様体上の一般の楕円型擬微分作用素へとロウの指数定理を一般化する。そのために、有界幾何の多様体上に新しいクラスの擬微分作用素を導入し、一様 $K$-ホモロジーと一様ロウ代数との間の粗いアセンブリーマップを通じた関係を確立し、一様 $K$-ホモロジーと $K$-理論の間のポアンカレ双対性を証明し、ねじれを除く同型をもつチエーン類写像を用いて一般化された指数定理を導出する。

ABSTRACT

We generalize Roe's Index Theorem for operators of Dirac type on open manifolds to elliptic pseudodifferential operators. To this end we introduce a class of pseudodifferential operators on manifolds of bounded geometry which is more general than similar classes defined by other authors. We revisit Spakula's uniform K-homology and show that our elliptic pseudodifferential operators naturally define classes there. Furthermore, we use the uniform coarse assembly map to relate these classes to the index classes of these operators in the K-theory of the uniform Roe algebra. Our investigation of uniform K-homology goes on with constructing the external product for it and deducing homotopy invariance. The next major result is the identification of the dual theory of uniform K-homology: uniform K-theory. We give a simple definition of uniform K-theory for all metric spaces and in the case of manifolds of bounded geometry we give an interpretation via vector bundles of bounded geometry over the manifold. This opens up the door for Chern-Weil theory and we define a Chern character map from uniform K-theory of a manifold to its bounded de Rham cohomology. We introduce a type of Mayer-Vietoris argument for these uniform (co-)homology theories which enables us to show firstly, that the Chern character induces an isomorphism modulo torsion, and secondly, that we have Poincare duality between uniform K-theory and uniform K-homology if the manifold is spin-c. Poincare duality together with the relation of uniform K-homology to the index theorem of Roe mentioned above directly leads to a generalization of the index theorem to elliptic pseudodiffential operators. Finally, using homotopy invariance of uniform K-homology we derive important results about the uniform coarse Baum-Connes conjecture establishing it equally important as the usual coarse Baum-Connes conjecture.

研究の動機と目的

• 有界幾何の多様体上のディラック型作用素から一般の楕円型擬微分作用素へとロウの指数定理を拡張すること。
• 既存の枠組みを一般化し、一様 $K$-ホモロジーと整合性を持つ新しいクラスの擬微分作用素を定義すること。
• 一様粗いアセンブリーマップを用いて、一様 $K$-ホモロジーと一様ロウ代数の $K$-理論との間の関係を確立すること。
• 一様 $K$-理論から有界 de Rham コホモロジーへのチエーン類写像を構成し、ねじれを除く同型であることを証明すること。
• スピン$^c$ 多様体に対して、一様 $K$-ホモロジーと $K$-理論の間のポアンカレ双対性を確立し、これにより一般化された指数定理を導出すること。

提案手法

• 有界幾何の多様体上に、従来の構成を一般化する新しいクラスの擬微分作用素を導入する。
• シュパクラの一度の $K$-ホモロジーを再考し、楕円型擬微分作用素が自然にこの理論のクラスを定義することを示す。
• 一様粗いアセンブリーマップを用いて、一様 $K$-ホモロジー類を一様ロウ代数の $K$-理論におけるインデックス類と関連付ける。
• 距離空間に対する一様 $K$-理論を定義し、有界幾何の多様体上の有界幾何のベクトル束を用いてその解釈を行う。
• 一様 $K$-理論から有界 de Rham コホモロジーへのチエーン類写像を構成し、ねじれを除く同型を誘導することを証明する。
• スピン$^c$ 多様体に対して、一様 $K$-ホモロジーと $K$-理論の間のポアンカレ双対性を確立し、ロウの指数定理の一般化を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ディラック型作用素に対するロウの指数定理を、非コンパクト多様体上の楕円型擬微分作用素へどのように一般化できるか。
• RQ2 非コンパクト多様体上の楕円型擬微分作用素の指数理論を支える適切な一様 $K$-ホモロジーの枠組みは何か。
• RQ3 一様粗いアセンブリーマップを用いて、一様 $K$-ホモロジーと一様ロウ代数の $K$-理論とをどのように関連づけられるか。
• RQ4 有界 de Rham コホモロジーは、非コンパクト多様体における位相的インデックス構成において果たす役割は何か。
• RQ5 有界幾何のスピン$^c$ 多様体に対して、一様 $K$-ホモロジーと $K$-理論の間のポアンカレ双対性は成立するか。その結果としての指数理論への影響は何か。

主な発見

• 有界幾何の多様体上に、従来の枠組みを一般化し、一様 $K$-ホモロジーと整合性を持つ新しいクラスの擬微分作用素が導入された。
• 楕円型擬微分作用素は自然に一様 $K$-ホモロジーのクラスを定義し、ホモトピー不変なインデックス理論が可能になった。
• 一様粗いアセンブリーマップにより、一様 $K$-ホモロジーと一様ロウ代数の $K$-理論との間の橋渡しがなされた。
• 一様 $K$-理論から有界 de Rham コホモロジーへのチエーン類写像が定義され、ねじれを除く同型を誘導することが示された。
• スピン$^c$ 多様体の有界幾何に対して、一様 $K$-ホモロジーと $K$-理論の間のポアンカレ双対性が成立した。
• ポアンカレ双対性と粗いアセンブリーマップの組み合わせにより、有界幾何の非コンパクト多様体上のすべての楕円型擬微分作用素へロウの指数定理が一般化された。