[論文レビュー] Indices of the iterates of $R^3$-homeomorphisms at Lyapunov stable fixed points

Francisco R. Ruiz del Portal, José Manuel Salazar|ArXiv.org|Apr 18, 2007

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、原点にリヤプノフ安定な固定点をもつ方向を保つ $ℝ^3$-ホメオモルフィズムを構成し、その $m$ 回繰り返し写像の固定点指数の絶対値が、任意の与えられた正の数列 $\{c_m\}$ よりも速く増大することを示した。これにより、固定点指数の列が有界でない可能性があることが証明された。構成法は、フローボックスとウィルソンの定理を用いたベクトル場の修正を含み、原点周辺の錐内に複雑な力学を埋め込む。これは、固定点指数が有界で周期的であることが知られている平面力学とは根本的に異なることを示している。

ABSTRACT

Given any positive sequence (\{c_n\}_{n \in {\Bbb N}}), we construct orientation preserving homeomorphisms (f:{\Bbb R}^3 o {\Bbb R}^3) such that (Fix(f)=Per(f)=\{0\}), (0) is Lyapunov stable and (\limsup \frac{|i(f^m, 0)|}{c_m}= \infty). We will use our results to discuss and to point out some strong differences with respect to the computation and behavior of the sequences of the indices of planar homeomorphisms.

研究の動機と目的

• 方向を保つ $ℝ^3$-ホメオモルフィズムの繰り返し写像の固定点指数列の挙動を調査すること。
• このような指数列が、任意に与えられた正の数列 $\{c_m\}$ よりも任意に速く増大しうるかどうかを特定すること。
• $ℝ^3$ の力学と、平面の場合によく理解されている指数の周期的挙動との対比を明らかにすること。
• 文献[22]の問題2.3.1を解決し、$ℝ^3$ における安定固定点の指数増大の有界性が成立しないことの証明を行うこと。

提案手法

• 上半空間 $\pi^+$ にベクトル場 $X(x,y,z) = (-x,-y,z)$ を定義し、原点付近の軌道を捉えるフローモデルを構築する。
• ウィルソンの定理を用いて、特定のフローボックス $U_k$ および $V_k$ 内でベクトル場を修正し、局所的で制御された周期軌道をもつ力学を生成する。
• 原点でのみゼロでないバウンド関数 $\gamma$ を用いて、滑らかで compact な台を持つベクトル場 $X_1 = \gamma G$ を定義し、滑らかさとコンパクト性を保証する。
• $\pi^+$ 上に、可算個の周期軌道をもつフロー $\psi$ を構成し、$\psi(t_n, \cdot)$ が原点以外に固定点および周期点をもたないような、減少する数列 $t_n \to 0$ を選ぶ。
• 原点の周りの対称的錐 $E(T_{j,m})$ に、錐を保存するホメオモルフィズム $h_m$ を用いて、$\psi(t_n, \cdot)$ のコピーを貼り付ける。これにより、リヤプノフ安定性が保たれる。
• 得られた局所的力学と、各錐上で局所写像と一致し、原点のみを固定点および周期点として持つグローバルホメオモルフィズム $h_0$ を合成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 方向を保つ $ℝ^3$-ホメオモルフィズムが原点にリヤプノフ安定な固定点をもつとき、固定点指数の列 $|i(f^m, 0)|$ は、任意に与えられた正の数列 $\{c_m\}$ よりも速く増大しうるか？
• RQ2 $ℝ^3$ における安定固定点の指数増大の有界性の欠如は、平面ホメオモルフィズムで観察される有界で周期的な挙動と著しく対照的であるか？
• RQ3 最大不動集合が単一の点ではなく、2次元円板と可算個の円の族を含む場合でも、このような有界でない指数列を構成できるか？
• RQ4 シューブとサリバンの予想（周期点の増大とリーマン数の関係）は、$ℝ^3$ における固定点指数への置き換えによって無効化されるか？
• RQ5 リヤプノフ安定性を保ちつつ、固定点および周期点集合が自明であるように、指数列を無限大にできるか？

主な発見

• 任意の正の数列 $\{c_m\}$ に対して、$\limsup_{m \to \infty} \frac{|i(f^m, 0)|}{c_m} = \infty$ を満たす方向を保つ $ℝ^3$-ホメオモルフィズム $f$ が存在し、指数の無限大増大が証明された。
• 構成されたホメオモルフィズム $f$ は $Fix(f) = Per(f) = \{0\}$ を満たし、$0$ はリヤプノフ安定であり、原点を中心とする任意の閉球 $B$ に対して $Inv(B, f)$ は閉じた2次元円板 $B \cap \{z=0\}$ に一致する。
• 定理2におけるホメオモルフィズム $h$ は $\limsup_{m \to \infty} \frac{\log |i(h^m, 0)|}{m} = \infty$ を満たし、指数の絶対値が超指数的増加を示している。
• $h$ の指数列は定理1の関連ホメオモルフィズム $f$ のそれと一致し、両者とも、$\{0\}$ が孤立不動集合であるホメオモルフィズムの極限として得られる。
• この構成により、平面力学で用いられる「端点の方法」が $ℝ^3$ では失敗することが示された。これは、$Inv(B,f)$ に2次元円板が含まれる場合、関連する端点が不動集合として孤立していないためである。
• 方向を反転するホメオモルフィズム $S \circ F$ および $S \circ H$ に対して、奇数回繰り返し写像の指数は1であるが、偶数回繰り返し写像では $i((S \circ H)^{2k}, 0) = -1 + 2i(h^{2k}, 0)$ を満たし、偶数番目の指数に無限大増大が反映されている。