[論文レビュー] Individual-level randomness in a nonatomic population

Edward J. Green|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2019

Economic theories and models参考文献 7被引用数 41

ひとこと要約

本論文は、非可算測度空間によりインデックス付けされた、非可算な i.i.d. な乱ベクトルの族を構築し、経済応用のための厳密なGlivenko-Cantelli 的類似性と同質サンプリング性を達成する。

ABSTRACT

This paper provides a construction of an uncountable family of i.i.d. random vectors, indexed by the points of a nonatomic measure space, such that (a) a sample is a measurable function from the index space, and (b) an idealization of the Glivenko-Cantelli theorem holds exactly with respect to the measure on that space. That is, samples possess a.s. the distribution from which they are drawn. Moreover, any subspace of the index space with positive measure inherits the same property. This homogeneity property is important for applications of the construction in economics.

研究の動機と目的

• 大規模経済における特異リスクを含むモデルの安全な基盤の必要性を動機づける。
• 非可算な i.i.d. ファミリーを、非可算確率空間にインデックス付けして提供する集合論的構成を提供する。
• サンプルが母集団分布を保持し、母集団測度に対して厳密にGlivenko-Cantelli 的性質を与えることを確保する。
• 正の測度を持つ任意の部分空間が同じサンプリング挙動を継承するという同質性を示す。

提案手法

• 特定の分布を持つ i.i.d. な乱ベクトルの族を定義するために、集合論的 Kolmogorov 型構成を用いる。
• 無予約の抽象的な確率空間の要素によって乱ベクトルをインデックス付けし、単位区間の点によってインデックス付けしない。
• 双対 Kolmogorov 拡張フレームワークを通じて、均質なサンプル分布極限を生成する豊かな関数を構築する。
• 母集団測度に対して Glivenko-Cantelli 性質の厳密類似を満たすサンプル分布極限を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サンプルがインデックス空間からの可測関数である、非可算で同質な i.i.d. 乱ベクトルの族を、非可算空間にインデックス付けして構成できるだろうか？
• RQ2 この非可算・連続的な設定において、Glivenko-Cantelli 定理の厳密な類似を得ることは可能か？
• RQ3 正の測度を持つ任意の部分空間が、確率測度への正規化の下で同じサンプリング性質を継承するか？

主な発見

• 目的の厳密なサンプリング性質を持つ、非可算空間にインデックス付けされた i.i.d. な乱ベクトルの族が存在する。
• 構成は、対象となる index-space 測度に関して、サンプルがほぼ surely 元の i.i.d. ベクトルと同じ分布を持つことを示す。
• 正の測度を持つインデックス空間の任意の部分空間を確率測度に正規化した場合、同じサンプリング特性を保持する。
• 同質的なサンプル分布極限が達成され、母集団の測定可能な部分集合に対して Glivenko-Cantelli 理想化の一形を満たす。
• 穏やかな条件の下で、構築した同質極限は、その2つの引数（サンプルと母集団）に対して共同測度性を持たない。これはそのような極限オブジェクトの基本的な非測度性特徴を反映する。