[論文レビュー] Individual Risk and Lebesgue Extension without Aggregate Uncertainty

Yeneng Sun, Yongchao Zhang|ArXiv.org|Mar 4, 2008

Economic theories and models被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、個々のリスクを伴う連続的モデルにおける標本可測性問題を解消するため、ルベーグ単位区間のフビニ拡張を構築する。この拡張により、任意の分布を持つ本質的に対ごとに独立な過程が定義され、集計による個々のリスクの相殺が可能となり、正確な大数の法則が成立する。主な貢献は、個々のリスクが集計によって相殺され、正確な大数の法則が成立する可測なエージェント空間の構築である。

ABSTRACT

Many economic models include random shocks imposed on a large number (continuum) of economic agents with individual risk. In this context, an exact law of large numbers and its converse is presented in Sun (2006) to characterize the cancelation of individual risk via aggregation. However, it is well known that the Lebesgue unit interval is not suitable for modeling a continuum of agents in the particular setting. The purpose of this paper is to show that an extension of the Lebesgue unit interval does work well as an agent space with various desirable properties associated with individual risk.

研究の動機と目的

• 古典的なルベーグ単位区間が非可測な標本関数のため失敗する、個々のリスクを伴う連続的モデルにおける標本可測性問題を解消すること。
• ルベーグ単位区間の拡張が、個々のリスクを伴う連続的エージェントの集団をモデル化するための実用的なエージェント空間として機能できることを示すこと。
• 任意の分布を持つ本質的に対ごとに独立な過程が存在し、可測な標本経路を持つフビニ拡張を構築すること。
• この拡張された枠組みにおいて、団体による集計的確実性が成立することを確立することにより、個々のリスクが集計レベルで相殺されることを保証すること。
• ルベーグ単位区間の適切な拡張が、個々のリスク下でも正確な大数の法則を満たすかという未解決の問いに肯定的な答えを与えること。

提案手法

• 豊富な積空間 $(C \times \Omega, \mathcal{E}, \nu)$ から $I \times \Omega$ への可測同型写像 $\psi$ を用いて、積空間 $(I \times \Omega, \mathcal{I} \otimes \mathcal{F}, \lambda \otimes P)$ のフビニ拡張 $(I \times \Omega, \mathcal{I} \boxtimes \mathcal{F}, \lambda \boxtimes P)$ を構築する。
• 押し出し写像により新しい確率測度 $\rho$ を $\mathcal{W}$ 上に定義する：$H \in \mathcal{W}$ に対して $\rho(H) = \nu[(\psi, \mathrm{Id}_\Omega)^{-1}(H)]$ とし、$\rho$ が $\lambda \otimes P$ を拡張することを保証する。
• すべての $H \in \mathcal{W}$ に対して、$\rho(H) = \int_\Omega \lambda(H_\omega) \, dP$ および $\rho(H) = \int_I P(H_i) \, d\lambda$ という積分恒等式を満たすことで、拡張された確率空間 $(I \times \Omega, \mathcal{W}, \rho)$ がフビニ性質を満たすことを証明する。
• 同型写像 $\psi$ を用いて可測構造を転送する：$H \in \mathcal{W}$ ならば $H_\omega = \psi(E_\omega)$ および $H_i = E_{\psi^{-1}(i)}$ となるように $E = (\psi, \mathrm{Id}_\Omega)^{-1}(H)$ を定義する。
• 元の測度 $\nu$ が $C \times \Omega$ 上でフビニ性質を満たすことを活用し、押し出し $\rho$ によってもフビニ性質を継承することを示す。
• 文献[23]の補題4を適用し、任意の可測な分布割り当て $\varphi: I \to \mathcal{M}(X)$ に対して、$\mathcal{I} \boxtimes \mathcal{F}$-可測な過程 $g$ が存在し、$g_i$ が $\varphi(i)$ の分布に従い、本質的に対ごとに独立であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 本質的に対ごとに独立な過程の標本関数が可測となるような、ルベーグ単位区間のフビニ拡張を構築することは可能か？
• RQ2 このような拡張が、任意の分布を持つ過程をサポートしつつ、正確な大数の法則を保つことができるか？
• RQ3 可測なルベーグ単位区間の拡張を用いて、個々のリスクを伴う連続的モデルで団体による集計的確実性を達成することは可能か？
• RQ4 ルベーグ単位区間でインデックス付けられたi.i.d.過程における標本可測性問題は、どのように克服できるか？
• RQ5 連続的エージェントの集団を個々のリスクとともにモデル化しつつ、集計によるリスク相殺を可能にする確率空間が満たすべき構造的性質は何か？

主な発見

• ルベーグ単位区間を拡張し、本質的に対ごとに独立な過程の可測な標本経路をサポートするフビニ拡張 $(I \times \Omega, \mathcal{I} \boxtimes \mathcal{F}, \lambda \boxtimes P)$ が構築された。
• 構築された拡張により、任意の可測な分布割り当て $\varphi(i)$ に対して、$\lambda$-ほとんど everywhere で $g_i$ が分布 $\varphi(i)$ に従う $\mathcal{I} \boxtimes \mathcal{F}$-可測な過程 $g$ が存在することが保証された。
• 拡張された空間はフビニ性質を満たす：すべての $H \in \mathcal{W}$ に対して $\rho(H) = \int_\Omega \lambda(H_\omega) \, dP$ および $\rho(H) = \int_I P(H_i) \, d\lambda$ が成り立ち、条件付き積分と周辺積分の整合性が保たれる。
• この拡張で可測な本質的に対ごとに独立な過程の標本関数は、ルベーグ可測であるため、古典的モデルの標本可測性問題が解消された。
• 団体による集計的確実性が成立する：任意の $\lambda(S) > 0$ を満たす団体 $S$ に対して、$f^S$ の集計はほとんど確実に定数となる。これは、集計レベルでリスクが相殺されることを確認する。
• ルベーグ単位区間は、非可測な標本経路のため個々のリスクのエージェント空間として失敗するが、フビニ拡張によるその拡張は、正確な大数の法則とリスクの相殺を両立させることが確認された。