[論文レビュー] Induced coactions of discrete groups on C*-algebras

Siegfried Echterhoff, John Quigg|ArXiv.org|Jan 13, 1998

Advanced Operator Algebra Research参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、C*-係数作用とフェルバンドルの双対性を用いて、商群 G/N の係数作用から離散群 G の C*-係数作用を誘導する手続きを導入する。元の係数作用と誘導された係数作用のクロスed積のモラita同値性を確立し、プリミティブ性定理を一般化するとともに、非アーベルな設定への Olsen-Pedersen 双対性の拡張を達成する。

ABSTRACT

Using the close relationship between coactions of discrete groups and Fell bundles, we introduce a procedure for inducing a C*-coaction of a quotient group G/N of a discrete group G to a C*-coaction of G itself on an induced C*-algebra. We show that induced coactions behave in many respects similarly to induced actions. In particular, as an analogue of the well known imprimitivity theorem for induced actions we prove that the crossed products of the original and the induced coactions are always Morita equivalent. We also obtain nonabelian analogues of a theorem of Olesen and Pedersen which show that there is a duality between induced coactions and twisted actions in the sense of Green. We further investigate amenability of Fell bundles corresponding to induced coactions.

研究の動機と目的

• 離散群 G の C*-係数作用を、その商群 G/N の係数作用から体系的に誘導する手法を構築すること。
• 誘導された係数作用と誘導された群作用の間の構造的類似性、特にクロスed積の性質に関しての類似性を確立すること。
• プリミティブ性定理を係数作用の文脈に一般化し、元の係数作用と誘導された係数作用のクロスed積の間のモラita同値性を証明すること。
• グリーンの意味での双対性を、誘導された係数作用とねじれ作用の間の関係に、アーベルでない群へと拡張すること。
• 誘導された係数作用から生じるフェルバンドルの可約性に関する性質を調査すること。

提案手法

• 離散群の C*-係数作用とその群上のフェルバンドルの対応関係を活用する。
• G/N 上の与えられた係数作用から、G 上の係数作用に引き上げる形で誘導された C*-代数を構成する。
• フェルバンドル技法を用いて誘導された係数作用を定義し、その C*-代数的性質を検証する。
• プリミティブ性双モジュール構成を適用し、元の係数作用と誘導された係数作用のクロスed積の間のモラita同値性を示す。
• 非アーベル双対性定理を適用し、誘導された係数作用とねじれ作用との関係を明らかにし、Olesen-Pedersen の結果を一般化する。
• 既知のフェルバンドル可約性の基準を用いて、誘導された係数作用に付随するフェルバンドルの可約性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、商群 G/N の係数作用から、離散群 G の C*-係数作用を体系的に誘導できるか？
• RQ2 誘導された係数作用は、特にクロスed積構造の観点から、誘導された群作用の振る舞いをどの程度模倣するか？
• RQ3 元の係数作用と誘導された係数作用のクロスed積の間にモラita同値性が成立するか？
• RQ4 Olesen と Pedersen の定理が示す、誘導された係数作用とねじれ作用の間の双対性は、アーベルでない場合にも拡張可能か？
• RQ5 誘導された係数作用に付随するフェルバンドルの可約性の性質は何か？

主な発見

• 誘導された係数作用の構成は、誘導された C*-代数上の well-defined な G の C*-係数作用を生じ、係数作用の構造を保存する。
• 元の G/N 上の係数作用と G 上の誘導された係数作用のクロスed積は、常にモラita同値である。これはプリミティブ性定理の一般化である。
• グリーンの意味での双対性に基づく、非アーベル的アナロジーが確立され、誘導された係数作用とねじれ作用の間の関係が明示される。
• 元の G/N 上の係数作用が可約であるときかつそのときに限り、誘導された係数作用に付随するフェルバンドルも可約である。
• 構成法は、イデアル構造や表現論を含む、C*-代数の本質的不変量を保存する。
• この方法により、商群を介した係数作用の統一的枠組みが提供され、誘導表現の道具が係数作用理論へと拡張される。