[論文レビュー] Induced differential forms on manifolds of functions

Cornelia Vizman|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、多様体 M と S 上の微分形式の間の自然な帽子積 (hat pairing) を導入し、S から M への滑らかな関数の Fréchet多様体 𝒟(S,M) 上の微分形式を誘導する。S におけるファイバー統合を用いて、写像 Ωᵖ(M) × Ωᑫ(S) → Ωᵖ⁺ᑫ⁻ᵏ(𝒟(S,M)) を構成し、トランスグレッション写像とバー写像を一般化する。主な貢献は、微分同相写像の作用と外微分とを保存する体系的な「帽子カルキュラス」を確立したことであり、これにより p-ブレイン理論や流体動力学における双対ペアへの応用が可能になる。

ABSTRACT

Differential forms on the Fréchet manifold F(S,M) of smooth functions on a compact k-dimensional manifold S can be obtained in a natural way from pairs of differential forms on M and S by the hat pairing. Special cases are the transgression map associating (p-k)-forms on F(S,M) to p-forms on M (hat pairing with a constant function) and the bar map associating p-forms on F(S,M) to p-forms on M (hat pairing with a volume form). We develop a hat calculus similar to the tilda calculus for non-linear Grassmannians.

研究の動機と目的

• コンパクトな k 次元多様体 S から多様体 M への滑らかな関数の Fréchet 多様体 𝒟(S,M) 上の微分形式の自然で幾何的な構成法を開発すること。
• S におけるファイバー統合を用いた統一的な帽子積の構成により、古典的なトランスグレッション写像とバー写像を一般化すること。
• 帽子積が微分同相写像群の作用（Diff(M) および Diff(S)）および外微分と整合することを確立し、コhomology的応用を可能にすること。
• 評価写像に沿った引き戻しを用いて、𝒟(S,M) 上に誘導された形式が非線形グラスマン多様体上のティラ計算とどのように関係するかを明らかにすること。
• 帽子カルキュラスを p-ブレインのハミルトニアン形式および理想非圧縮流体の流れにおける双対ペアへの運動量写像を用いた応用に適用すること。

提案手法

• ファイバー統合による帽子積の定義: ŝ(ω·α) = −∫ₛ ev*ω ∧ pr*α、ここで ev: S×𝒟(S,M) → M は評価写像、pr: S×𝒟(S,M) → S は射影。
• 内積を用いて誘導された形式を明示的に表現: (ŝ(ω·α))_f(Y_f¹,…,Y_f^{p+q−k}) = ∫_S f*(i_{Y_f^{p+q−k}}…i_{Y_f¹}(ω∘f)) ∧ α。
• 帽子積が外微分 d および 𝒟(S,M) 上の Diff(M) と Diff(S) の作用と整合することを確立する。
• f ∈ 𝒟(S,M) における接ベクトルを f*TM のセクションとして同定することにより、誘導された形式を引き戻しと収縮を用いて定義する。
• Emb(S,M) 上の帽子写像を非線形グラスマン多様体 Gr_k(M) 上のティラ写像と関係付ける。射影 π: Emb(S,M) → Gr_k(M) を用い、ŝω = π*tilde(ω) を示す。
• μ を S 上の固定された体積形式とするバー写像 ̄ω = ŝ(ω·μ) を用いて、M 上にシンプレクティック形式 ω が存在するとき、𝒟(S,M) 上にシンプレクティック構造を構成し、Diff_ham(M,ω) および Diff_ex(S,μ) の可換なハミルトニアン作用を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数空間 𝒟(S,M) 上の微分形式は、M および S 上の形式からどのように体系的に誘導できるか？
• RQ2 帽子積 Ωᵖ(M) × Ωᑫ(S) → Ωᵖ⁺ᑫ⁻ᵏ(𝒟(S,M)) の幾何的・代数的構造は何か？ また、トランスグレッションとバー写像とはどのように関係するか？
• RQ3 帽子カルキュラスは、無限次元多様体 𝒟(S,M) 上での微分同相写像群の作用と外微分とどのように相互作用するか？
• RQ4 Emb(S,M) 上の帽子写像と非線形グラスマン多様体 Gr_k(M) 上のティラ写像の間の関係は何か？
• RQ5 帽子カルキュラスは、p-ブレイン理論および理想非圧縮流体の流れの文脈における運動量写像と双対ペアを構成するためにどのように用いることができるか？

主な発見

• 帽子積 ŝ(ω·α) = −∫ₛ ev*ω ∧ pr*α は、Ωᵖ(M) × Ωᑫ(S) から Ωᵖ⁺ᑫ⁻ᵏ(𝒟(S,M)) へのwell-definedな双線形写像を定義し、トランスグレッションとバー写像を一般化する。
• 帽子積は外微分 d および 𝒟(S,M) 上の自然な Diff(M) と Diff(S) の作用と整合し、de Rham コhomology におけるwell-definedな誘導写像をもたらす。
• トランスグレッション写像 ŝω = −∫ₛ ev*ω は、Ω⁰(S) 内の定数関数 1 とのペアリングに対応し、f ∈ Emb(S,M) における値は ∫_S f*(i_{X_{p−k}}…i_{X₁}ω) に等しい（X₁,…,X_{p−k} ∈ 𝔛(M)）。
• μ を S 上の固定された体積形式とするバー写像 ̄ω = ŝ(ω·μ) は、M 上にシンプレクティック形式 ω が存在するとき、𝒟(S,M) 上にシンプレクティック形式を与える。また、Diff_ham(M,ω) および Diff_ex(S,μ) の可換なハミルトニアン作用を誘導する。
• Diff_ex(S,μ) の作用の運動量写像は 〈J(f), X_α〉 = ∫_S f*ω ∧ α で与えられ、その非不変性はリヒネロービッツ・コサイクルとコhomologousなリー代数 2-コサイクルで測定される。
• コサイクル σ_ℱ(f) = ∫_S f*ω ∧ P i_X i_Y μ は、かつて [f*ω] ∈ H²(S) のコhomology類が整数クラスであるときかつそのときに限り可積分であり、幾何的量子化と流体の双対ペア構造を結びつける。