[論文レビュー] Induced Gravity from Curvature Density Preserving Diffeomorphisms

Ichiro Oda|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2016

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ニュートン定数が基本的であるのではなく、曲率密度を保存する微分同相変換制約 $\pi_{\mu\nu} = \sqrt{-g}R = \varepsilon_0$ から動的に出現する、新しい重力モデルを提案する。この制約をアインシュタイン＝ヒルベルト作用に課すことにより、動的に生成されたニュートン定数を有する修正アインシュタイン方程式が得られ、無限大のニュートン定数の極限では誘導重力に還元される。このモデルは、空間的に平坦なフリードマン＝ロバートソン＝ウォーカー（FRW）宇宙でダスト支配の状況（$w=0$）に対して一意な宇宙論的解を与える。その解はスケール因子 $a(t) \propto (t - t_0)^{2/3}$ を示す。

ABSTRACT

We construct not only an induced gravity model with the restricted diffeomorphisms, that is, transverse diffeomorphisms which preserves the curvature density, but also that with the full diffeomorphisms. By solving the equations of motion, it turns out that these models produce Einstein's equations with a certain Newton's constant in addition to the constraint for the curvature density. In the limit of the infinite Newton constant, the models give rise to induced gravity. Moreover, we discuss cosmological solutions on the basis of the gravitational models at hand.

研究の動機と目的

• ニュートン定数が、基本的であるのではなく、曲率密度にかかる動的制約から統合定数として出現しうるかを検討すること。
• ユニモジュラー重力の枠組みを拡張し、$\sqrt{-g} = 1$ というユニモジュラー制約を、$\sqrt{-g}R = \varepsilon_0$ という曲率密度制約に置き換えること。
• 有効ニュートン定数がパラメータではなく、場の運動方程式から導かれる量であるような重力理論を構築すること。
• この新しい制約下での古典的宇宙論的解を解析し、許容される物質内容を同定すること。

提案手法

• ラグランジュ乗数場 $\lambda(x)$ を用いて制約 $\sqrt{-g}R = \varepsilon_0$ を導入し、アインシュタイン＝ヒルベルト作用にこれを動的条件として組み込む。
• 修正された作用 $S = \int d^4x \left[ \frac{1}{2\kappa'^2} \sqrt{-g} R - \lambda(x)(\sqrt{-g}R - \varepsilon_0) \right] + S_m$ から運動方程式を導出し、修正アインシュタイン方程式を得る。
• 制約 $\sqrt{-g}R = \varepsilon_0$ を動的方程式として扱い、ユニモジュラー重力における非動的条件 $\sqrt{-g} = v_0$ とは区別する。
• 完全流体（状態方程式 $w = p/\rho = \text{const}$）を仮定し、空間的に平坦なフリードマン＝ロバートソン＝ウォーカー（FRW）計量で運動方程式を解く。
• エネルギー運動量テンソルのトレースと制約を用いて、$w$、$\rho_0$、$\varepsilon_0$ を結びつける整合性条件を導出し、$w=0$ が得られる。
• $\kappa'^{-2} \to \infty$ の極限を解析し、モデルが誘導重力に還元されることを示し、ニュートン定数が完全に力学的要因から生成されることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲率密度制約 $\sqrt{-g}R = \varepsilon_0$ を通じて、ニュートン定数が統合定数として生成可能か？
• RQ2 曲率密度が固定された場合、このモデルの宇宙論的解は標準一般相対性理論とどのように異なるか？
• RQ3 制約 $\sqrt{-g}R = \varepsilon_0$ の下で、古典的に許容される物質内容は何か？
• RQ4 無限大のニュートン定数の極限で、モデルは誘導重力に還元されるか？
• RQ5 宇宙定数 $\Lambda$ を物質セクターに吸収させつつ、曲率密度制約を維持できるか？

主な発見

• モデルは、動的に生成されたニュートン定数 $\kappa'^{-2}$ を有する修正アインシュタイン方程式を生み出す。ここで $\kappa'^{-2} = \varepsilon_0 / \rho_0$ である。
• 制約 $\sqrt{-g}R = \varepsilon_0$ は、計量の2階微分を含む動的方程式である。ユニモジュラー重力における非動的条件 $\sqrt{-g} = v_0$ とは異なり、動的性質を持つ。
• 完全流体に対する唯一の整合的古典的解は、状態方程式 $w = 0$ のダストであり、$\rho_0 = \varepsilon_0 / \kappa'^{-2}$ が成り立つ。
• スケール因子は $a(t) = \left(\frac{3}{4}\varepsilon_0\right)^{1/3} (t - t_0)^{2/3}$ と進化し、非相対論的物質支配の減速宇宙を記述する。
• 極限 $\kappa'^{-2} \to \infty$ において、モデルは誘導重力に還元され、ニュートン定数が完全に力学的要因から生成されることを確認した。
• 宇宙定数 $\Lambda$ は物質エネルギー運動量テンソルに吸収され、$\Lambda = 0$ のとき、修正されたニュートン定数を有するトレースレスアインシュタイン方程式が得られる。