[論文レビュー] Induced Invariant Finsler Metrics on Quotient Groups

Ebrahim Esrafilian, Hamid Reza Salimi Moghaddam|arXiv (Cornell University)|May 1, 2013

Advanced Differential Geometry Research参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、Lie群 $G$ 上の不変Finsler計量が、$H$ を閉じた正規Lie部分群とする商群 $G/H$ 上に自然に不変Finsler計量を誘導することを示している。この構成は、射影 $p: G \to G/H$ を用い、$ \mathfrak{h}$ における右不変補空間を通じて $T_x(G/H)$ の接ベクトルを $T_zG$ に持ち上げるものであり、誘導された計量 $ \mathcal{F}$ が正しく定義され、$F$ からの不変性を引き継ぐ。主な貢献は、再帰的でない条件を必要とせず、双不変および左/右不変Finsler構造を商空間に拡張する一般的で自然な持ち上げ手続きの確立である。

ABSTRACT

In this paper we show that every invariant Finsler metric on Lie group $G$, induces an invariant Finsler metric on quotient group $G/H$ in the natural way, where $H$ is a closed normal Lie subgroup of $G$.

研究の動機と目的

• 元のLie群 $G$ 上の不変Finsler計量から、商群 $G/H$ 上に不変Finsler計量を自然に誘導する方法を確立すること。
• 同相空間上の不変リーマン計量に関する既知の結果を、より一般的なFinsler幾何の設定に拡張すること。
• 従来のFinsler計量に関する研究で一般的に仮定されている $G/H$ の再帰的性を排除すること。
• 元の計量 $F$ が $G$ 上で左/右/双不変であれば、誘導された計量 $\mathcal{F}$ が $G/H$ 上でも同様に不変であることを示すこと。

提案手法

• $G$ のLie代数 $\mathfrak{g}$ と $H$ のLie代数 $\mathfrak{h}$ に対して、$\mathfrak{g} = V \oplus \mathfrak{h}$ となるベクトル空間の補空間 $V$ を定義する。
• 自然な射影 $p: G \to G/H$ を用い、微分 $T_zp$ を通じて $T_x(G/H)$ の接ベクトルを $T_zG$ に持ち上げる。
• 誘導されたFinsler計量 $\mathcal{F}(X) = F(Z)$ を定義する。ここで $Z \in V(z)$ かつ $T_zp(Z) = X$ であり、$zH$ 内の代表元の選び方に依存しないことを保証する。
• 右不変性と右移動が補空間 $V$ を保存することを用いて、$\mathcal{F}$ が正しく定義されることを証明する。
• $\mathcal{F}$ がFinsler計量の公理を満たすことを確立する：滑らかさ（スリット接バンドル上で）、正homogeneity、ヘッセ行列の強い凸性。
• $\mathcal{F}$ が不変性を引き継ぐことを示す：$F$ が $G$ 上で左/右/双不変であれば、$\mathcal{F}$ は $G/H$ 上でもそれぞれ対応する不変性を有する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のLie群 $G$ 上の不変Finsler計量は、閉じた正規部分群 $H$ に対する商 $G/H$ 上に自然に不変Finsler計量へ持ち上げ可能か？
• RQ2 $G/H$ が再帰的でない場合においても、$G/H$ 上の誘導計量 $\mathcal{F}$ の定義が正しく保たれるか？
• RQ3 誘導計量 $\mathcal{F}$ が、元の計量 $F$ の左/右/双不変性を $G$ 上でどのように引き継ぐかの条件は何か？
• RQ4 Finsler幾何では標準的内積が存在しないため、直交性を用いた古典的リーマン的構成と比較して、誘導されたFinsler計量 $\mathcal{F}$ はどのように関係するか？

主な発見

• Lie群 $G$ 上の右不変Finsler計量 $F$ は、$H$-補空間 $V$ における $X$ の持ち上げ $Z$ を用いて $\mathcal{F}(X) = F(Z)$ で定義される、$G/H$ 上に正しく定義された右不変Finsler計量 $\mathcal{F}$ を誘導する。
• 右不変性と射影 $p$ の等変性により、$zH$ 内の代表元 $z$ の選び方に依存しない。
• $F$ が $G$ 上で双不変であれば、$G$ の自然な作用に関して、$G/H$ 上の誘導計量 $\mathcal{F}$ も双不変である。
• 再帰的性の仮定を一切せず、従来の再帰的仮定を必要としていた結果を一般化する。
• この方法は古典的リーマン的構成と整合性がある：$F$ がリーマン的であれば、誘導された $\mathcal{F}$ は $G/H$ 上の標準的不変リーマン計量と一致する。
• $\mathfrak{h}$ が $\mathfrak{g}$ のイデアルであれば、$H$ は閉じた正規部分群であり、$G/H$ 上の誘導計量 $\mathcal{F}$ は $F$ の不変性タイプを引き継ぐ。