[論文レビュー] Induced minors and well-quasi-ordering

B{\l}asiok, Jaros{\l}aw, Marcin Kamiński+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 24被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、誘導部分グラフ関係におけるwell-quasi-ordering (wqo) に関する二分法定理を確立する。H-誘導部分グラフを含まないグラフのクラスがwqoであるための必要十分条件は、H が「ジェム」（支配頂点をもつP4）またはbK4（次数2の頂点を追加したK4）の誘導部分グラフであることである。証明は、bK4およびジェムの誘導部分グラフを含まないグラフの2つの新しい構造的分解定理と、無限の反鎖の構造的解析に基づく。これは、従来の部分グラフおよび誘導部分グラフに関する結果を誘導部分グラフの文脈に拡張するものである。

ABSTRACT

A graph $H$ is an induced minor of a graph $G$ if it can be obtained from an induced subgraph of $G$ by contracting edges. Otherwise, $G$ is said to be $H$-induced minor-free. Robin Thomas showed that $K_4$-induced minor-free graphs are well-quasi-ordered by induced minors [Graphs without $K_4$ and well-quasi-ordering, Journal of Combinatorial Theory, Series B, 38(3):240 -- 247, 1985]. We provide a dichotomy theorem for $H$-induced minor-free graphs and show that the class of $H$-induced minor-free graphs is well-quasi-ordered by the induced minor relation if and only if $H$ is an induced minor of the gem (the path on 4 vertices plus a dominating vertex) or of the graph obtained by adding a vertex of degree 2 to the complete graph on 4 vertices. To this end we proved two decomposition theorems which are of independent interest. Similar dichotomy results were previously given for subgraphs by Guoli Ding in [Subgraphs and well-quasi-ordering, Journal of Graph Theory, 16(5):489--502, 1992] and for induced subgraphs by Peter Damaschke in [Induced subgraphs and well-quasi-ordering, Journal of Graph Theory, 14(4):427--435, 1990].

研究の動機と目的

• 誘導部分グラフ関係において、H-誘導部分グラフを含まないグラフのクラスがwell-quasi-ordered (wqo) であるようなグラフHを特定すること。
• Ding (1992) の部分グラフに関する従来の二分法結果と、Damaschke (1990) の誘導部分グラフに関する結果を、誘導部分グラフ関係に拡張すること。
• 誘導部分グラフの文脈において、wqoと非wqoのクラスを分かつ境界グラフ（obstructions）を同定すること。
• bK4およびジェムの誘導部分グラフを含まないグラフの構造的分解を提供し、wqoの証明に中心的な役割を果たすこと。

提案手法

• bK4-誘導部分グラフを含まない2連結グラフおよびジェム-誘導部分グラフを含まない2連結グラフの2つの分解定理を構築した。
• bK4-誘導部分グラフを含まないグラフが、有限個の構造的クラスに属し、それぞれが誘導部分グラフに関して閉じていることから、wqoであることを証明した。
• ジェム-誘導部分グラフを含まないグラフが、高々6個の頂点を削除することで、cographとパスの頂点素性和に分解できることを示し、wqoを導いた。
• well-quasi-orderedなラベルを備えたラベル付きグラフクラスを用いて、誘導部分グラフ関係を保つ単調関数を構成した。
• すべてのHがジェムまたはbK4の誘導部分グラフに同型でない場合、無限の反鎖が存在することを示し、非wqoであることを証明した。
• グラフマイナー理論の技術を誘導部分グラフの文脈に適応し、Robertson-Seymour理論の枠組みを誘導部分グラフに応用した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのグラフHに対して、H-誘導部分グラフを含まないグラフのクラスが誘導部分グラフ関係でwell-quasi-ordered (wqo) となるか？
• RQ2 特にHがbK4またはジェムの場合に、Hを誘導部分グラフとして含まないグラフの構造的特徴は何か？
• RQ3 部分グラフおよび誘導部分グラフの文脈における二分法と同様に、誘導部分グラフを含まないグラフクラスについて完全な二分法を確立できるか？
• RQ4 誘導部分グラフ関係におけるwqoの障害となる最小のグラフ（obstructions）は何か？
• RQ5 bK4およびジェムを含まないグラフの分解定理は、wqo性の証明にどのように寄与するか？

主な発見

• H-誘導部分グラフを含まないグラフのクラスが誘導部分グラフに関してwqoであることは、H がジェムまたはbK4の誘導部分グラフであることと必要十分である。
• ジェム（P4に支配頂点を追加したグラフ）とbK4（K4に次数2の頂点を追加したグラフ）は、誘導部分グラフ関係におけるwqoの障害となる唯一の最小のグラフである。
• bK4-誘導部分グラフを含まない2連結グラフは、K4を含まない、K4の部分分割、K3,3、またはピラミッド（prism）である、あるいは小さなホイールと完全多部グラフに分割可能である、という構造的特徴を持つ。
• ジェム-誘導部分グラフを含まない2連結グラフは、高々6個の頂点を削除することで、cographとパスの頂点素性和に分解可能であり、閉包性からwqoが導かれる。
• 両クラスのwqo性の証明には、ラベルの再割り当てを伴う新規のラベル化技術が用いられ、ラベル付きグラフ構成における誘導部分グラフ順序を保った。
• 本論文は完全な二分法を確立し、DamaschkeとDingの部分グラフおよび誘導部分グラフに関する先行結果の誘導部分グラフ版を解決した。