[論文レビュー] Induced structures on submanifolds in almost product Riemannian manifolds

Cristina E. Hreţcanu|ArXiv.org|Aug 22, 2006

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ほぼ積分形リーマン多様体に埋め込まれた部分多様体における誘導された幾何的構造を調査し、埋込空間のテンソル場 $\widetilde{P}$ の分解を通じて、$(P,g,\varepsilon\xi_{\alpha},u_{\alpha},(a_{\alpha\beta})_{r})$ 構造の基本的性質を導出する。主な貢献は、整合性条件および構造方程式の体系的導出であり、ユークリッド空間におけるcodimension-1およびcodimension-2部分多様体に対する明示的構成が含まれる。

ABSTRACT

We give some fundamental properties of the induced structures on submanifolds immersed in almost product or locally product Riemannian manifolds. We study the induced structure by the composition of two isometric immersions on submanifolds in an almost product Riemannian manifold. We give an effective construction for some induced structures on submanifolds of codimension 1 or 2 in Euclidean space.

研究の動機と目的

• ほぼ積分形リーマン多様体内のcodimension $r$ の部分多様体における誘導された $(P,g,\varepsilon\xi_{\alpha},u_{\alpha},(a_{\alpha\beta})_{r})$ 構造を特徴づけること。
• 埋込空間の接続 $\widetilde{\nabla}\widetilde{P}=0$ の条件下で、誘導された構造を支配する基本方程式を導出すること。
• 誘導された構造が正規であるための必要十分条件を特定すること。正規性は、$P$ と法接作用素 $A_{\alpha}$ の可換性によって定義される。
• 2つの等長埋め込みの合成が、codimension-2部分多様体に高ランクの構造を誘導する仕組みを分析すること。
• ユークリッド空間内の超曲面およびcodimension-2部分多様体における誘導構造の有効な構成を提供すること。

提案手法

• 部分多様体 $M$ 上での埋込空間の $(1,1)$-テンソル場 $\widetilde{P}$ を接成分と法成分に分解し、$\widetilde{P}X = PX + \sum_{\alpha} u_{\alpha}(X)N_{\alpha}$ および $\widetilde{P}N_{\alpha} = \varepsilon\xi_{\alpha} + \sum_{\beta} a_{\alpha\beta}N_{\beta}$ を得る。
• 分解された成分に $\widetilde{P}^2 = \varepsilon I$ および $\widetilde{g}(\widetilde{P}U,\widetilde{P}V) = \widetilde{g}(U,V)$ の整合性条件を適用することで、構造方程式 (1.6) を導出する。
• 計量の整合性およびテンソル場の恒等式を用いて、$a_{\alpha\beta} = \varepsilon a_{\beta\alpha}$ の対称性と、$u_{\alpha}$, $\xi_{\alpha}$, 計量 $g$ 間の関係を確立する。
• Weingarten作用素と曲率の整合性を適用し、$[P, A_{\alpha}] = 0$ によって定義される、誘導された構造の正規性を分析する。
• 2つの等長埋め込み $M \hookrightarrow \overline{M} \hookrightarrow \widetilde{M}$ の合成を用いて、$\mathbb{R}^n$ 内の超曲面およびcodimension-2部分多様体における誘導構造の明示的例を構成する。
• ユークリッド空間の例に対して直接計算により、誘導された構造が定義的恒等式 (1.6) および (1.7) を満たすことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ほぼ積分形リーマン多様体内の部分多様体における誘導された $(P,g,\varepsilon\xi_{\alpha},u_{\alpha},(a_{\alpha\beta})_{r})$ 構造の基本的代数的および幾何的性質は何か？
• RQ2 誘導された構造が正規であるとは、どのような条件下で成立するか。すなわち、$P$ とWeingarten作用素 $A_{\alpha}$ が可換となる条件は何か？
• RQ3 2つの等長埋め込み $M \hookrightarrow \overline{M} \hookrightarrow \widetilde{M}$ の合成が、$\operatorname{codim}(M) = 2$ のとき、$M$ に一意に定義された構造をどのように誘導するか？
• RQ4 ユークリッド空間内のcodimension 1または2の部分多様体に対して、誘導された構造の明示的構成は可能か？
• RQ5 誘導されたテンソル場 $P$, $\xi_{\alpha}$, $u_{\alpha}$ および行列 $(a_{\alpha\beta})$ 間の整合性条件は何か？

主な発見

• 誘導された構造は $P^2X = \varepsilon(X - \sum_{\alpha} u_{\alpha}(X)\xi_{\alpha})$ を満たし、計量歪みを伴う一般化されたほぼ積分構造を確立する。
• 行列 $(a_{\alpha\beta})$ は $\varepsilon = 1$ のとき対称であり、$a_{\alpha\beta} = \varepsilon a_{\beta\alpha}$ を満たす。これにより、埋込空間の計量および $\widetilde{P}^2 = \varepsilon I$ と整合する。
• $u_{\alpha}(X) = g(X, \xi_{\alpha})$ および $g(PX, Y) = \varepsilon g(X, PY)$ の関係により、$P$ が誘導計量に関して $\varepsilon$-自己随伴であることが確認される。
• 誘導された構造は $g(PX, PY) = g(X,Y) - \sum_{\alpha} u_{\alpha}(X)u_{\alpha}(Y)$ を満たし、$P$ が法方向への射影を除き計量を保存する変換として作用することを示す。
• codimension-2部分多様体では、2つの等長埋め込みの合成により、$a_{12} = a_{21} = g(\xi_2^{\bot}, N_1)$ が成り立ち、構造定数が法バンドルの幾何にリンクされる。
• 超曲面およびユークリッド空間内のcodimension-2部分多様体に対する誘導構造の明示的構成が提供され、平坦な埋込空間におけるこの枠組みの実現可能性が示された。