[論文レビュー] Induced subgraphs and tree decompositions II. Toward walls and their line graphs in graphs of bounded degree

Tara Abrishami, Maria Chudnovsky+5 more|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2021

Advanced Graph Theory Research被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、最大次数が有界でかつ十分に大きな木幅をもつグラフは、$t$-スフィア、$t$-パラメトロン、または$k\times k$-ウォールの部分分割の線グラフを誘導部分グラフとして含む必要があることを確立している。さらに、任意のサブカビックな部分分割キャタピラー$T$に対して、このようなグラフは$T$の部分分割またはその線グラフを誘導部分グラフとして含む必要があり、有界次数のグラフにおける構造的普遍性を確認している。

ABSTRACT

This paper is motivated by the following question: what are the unavoidable induced subgraphs of graphs with large treewidth? Aboulker et al. made a conjecture which answers this question in graphs of bounded maximum degree, asserting that for all $k$ and $Δ$, every graph with maximum degree at most $Δ$ and sufficiently large treewidth contains either a subdivision of the $(k imes k)$-wall or the line graph of a subdivision of the $(k imes k)$-wall as an induced subgraph. We prove two theorems supporting this conjecture, as follows. 1. For $t\geq 2$, a $t$-theta is a graph consisting of two nonadjacent vertices and three internally disjoint paths between them, each of length at least $t$. A $t$-pyramid is a graph consisting of a vertex $v$, a triangle $B$ disjoint from $v$ and three paths starting at $v$ and disjoint otherwise, each joining $v$ to a vertex of $B$, and each of length at least $t$. We prove that for all $k,t$ and $Δ$, every graph with maximum degree at most $Δ$ and sufficiently large treewidth contains either a $t$-theta, or a $t$-pyramid, or the line graph of a subdivision of the $(k imes k)$-wall as an induced subgraph. This affirmatively answers a question of Pilipczuk et al. asking whether every graph of bounded maximum degree and sufficiently large treewidth contains either a theta or a triangle as an induced subgraph (where a theta means a $t$-theta for some $t\geq 2$). 2. A subcubic subdivided caterpillar is a tree of maximum degree at most three whose all vertices of degree three lie on a path. We prove that for every $Δ$ and subcubic subdivided caterpillar $T$, every graph with maximum degree at most $Δ$ and sufficiently large treewidth contains either a subdivision of $T$ or the line graph of a subdivision of $T$ as an induced subgraph.

研究の動機と目的

• 最大次数が有界で木幅が大きなグラフにおける避けられない誘導部分グラフを同定すること。
• Aboulkerたちの予想を解決すること：このようなグラフに$k\times k$-ウォールまたはその線グラフが誘導部分グラフとして存在すること。
• 禁止誘導部分グラフと木幅に関する先行研究を拡張し、有界次数の族における構造的普遍性を特徴づけること。
• 任意のサブカビックな部分分割キャタピラー$T$に対して、最大次数が$\Delta$以下のグラフで木幅が十分に大きい場合、$T$の部分分割またはその線グラフが誘導部分グラフとして含まれることを証明すること。

提案手法

• 三つの内部に頂点を共有しない長さ$t$以上のパスを用いて定義される、$t$-スフィアと$t$-パラメトロンを、鍵となる禁止部分構造として導入する。
• 三つのパスと中心頂点集合を含む特定の構成（$(k,t)$-クリーチャー）に基づく再帰的分解を用いる。
• フォーサーに基づく手法を適用：特定の構成$S_{t_{i}+1,t_{i}+1,t_{i}+1}+H$を$S_{t_i,t_i+1,t_i+1}$-フォーサーとして構成し、特定の構成を遮断する。
• $(i,t_i)$-クリーチャーとウォールの部分分割の線グラフを避けるクラスにおける木幅の上限を、$i$に関する帰納法で示す。
• グリッド定理とRobertson-Seymour理論を用いて、木幅と誘導部分グラフの包含関係を関連付ける。
• 補題6.5を適用し、$T$の部分分割とその線グラフの両方を避けるグラフは有界な木幅を持つことを示し、必然的な包含関係を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大次数が有界で木幅が大きなグラフは、必ず$t$-スフィア、$t$-パラメトロン、または$(k\times k)$-ウォールの部分分割の線グラフを誘導部分グラフとして含むのか？
• RQ2 すべての最大次数が有界で十分に大きな木幅をもつグラフは、与えられたサブカビックな部分分割キャタピラー$T$の部分分割、またはその部分分割の線グラフを誘導部分グラフとして含むのか？
• RQ3 特定の誘導部分グラフ（例：$t$-スフィアやウォールの部分分割の線グラフ）の欠如が、木幅を有界に強いるのか？
• RQ4 どのような構造的障害（例：$(k,t)$-クリーチャー）が、有界次数のグラフにおける大きな木幅を妨げるのか？
• RQ5 フォーサー構成は、遺伝的グラフ族における木幅の上限を示すためにどのように役立つか？

主な発見

• すべての$k,t,\Delta$に対して、最大次数が$\Delta$以下で十分に大きな木幅をもつグラフは、$t$-スフィア、$t$-パラメトロン、または$(k\times k)$-ウォールの部分分割の線グラフを誘導部分グラフとして含む。
• この結果は、Pilipczukたちの予想を確認しており、このようなグラフは必ず$T$-スフィア（$t\geq 2$の場合は$\theta$）または三角形を誘導部分グラフとして含むことを示している。
• すべてのサブカビックな部分分割キャタピラー$T$に対して、最大次数が$\Delta$以下で十分に大きな木幅をもつグラフは、$T$の部分分割または$T$の部分分割の線グラフを誘導部分グラフとして含む。
• $T$の部分分割とその線グラフの両方を避けるグラフのクラスは、$\Delta$と$T$に依存する有界な木幅を持つ。
• 再帰的帰納法により、$(i,t_i)$-クリーチャーとウォールの部分分割の線グラフを避けるクラスにおける木幅の上限を示し、$t_i = t(1+\Delta)^{k-i}$という数列を用いる。
• 証明により、$t$-スフィア、$t$-パラメトロン、およびウォールの部分分割の線グラフの欠如が、次数制約のもとでも木幅を有界にすることを示している。