[論文レビュー] Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. II. Three steps towards Gyarfas' conjectures

Maria Chudnovsky, Paul Seymour+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、大きな彩色数だが大きなクリークや長い奇数の穴を含まないグラフに関するGyárfásの予想に前進をもたらす。三角形を含まないが、長さℓより長い奇数の穴を含まないグラフは、ℓの関数として彩色数が有界であることを証明し、5-サイクルのみを奇数の穴として持つ五角形グラフ（pentagonal graphs）が58,000色で彩色可能であることを示した。これらの結果は、距離分割におけるレベル集合を用いた構造的分解と、ラムネポット補題（lollipop lemmas）を用いて、誘導部分グラフにおける彩色数を制限することに依存している。

ABSTRACT

Gyarfas conjectured in 1985 that for all $k$, $l$, every graph with no clique of size more than $k$ and no odd hole of length more than $l$ has chromatic number bounded by a function of $k$ and $l$. We prove three weaker statements: (1) Every triangle-free graph with sufficiently large chromatic number has an odd hole of length different from five; (2) For all $l$, every triangle-free graph with sufficiently large chromatic number contains either a 5-hole or an odd hole of length more than $l$; (3) For all $k$, $l$, every graph with no clique of size more than $k$ and sufficiently large chromatic number contains either a 5-hole or a hole of length more than $l$.

研究の動機と目的

• 制限されたクリークおよび奇数の穴のサイズをもつグラフにおける彩色数の有界性に関するGyárfásの予想の弱い形を証明すること。
• 長さℓより長い奇数の穴を含まない三角形を含まないグラフが、ℓの関数として彩色数が有界であることを確立すること。
• 5-サイクルのみを誘導された奇数サイクルとして持つ五角形グラフ（pentagonal graphs）が58,000色で彩色可能であることを証明すること。
• ラムネポット補題やレベル集合の分析といった構造的ツールを開発し、彩色数の問題を有界な部分構造に還元すること。
• 追加の制約（例：5-穴なし）が課された場合の予想の特殊ケースを証明すること。

提案手法

• 以前の研究における定理の変種を用いて、三角形を含まないが長さℓより長い奇数の穴を含まないグラフが大きな彩色数を持つ場合、中心頂点をもつ誘導部分グラフが存在し、その距離レベルはほとんど安定しているが、1つのレベルだけが大きな彩色数を持つことを示した。
• ラムネポット補題を用いて、中心部とパスに似た尾部を持つ誘導部分グラフを分析し、清浄性（cleanliness）を用いて隣接構造を制御した。
• 中心頂点からの距離分割を用いてグラフをレベル集合に分解し、各レベルの彩色数を分析することで、全体の彩色数を制限した。
• クリーク数ω(G)に関する帰納法を用い、すべてのクリーク数が小さい部分グラフが彩色可能であると仮定した場合、与えられた制約のもとで元のグラフも彩色可能であることを証明した。
• 重要な補題を適用し、すべての頂点の近傍および2-近傍が有界な彩色数を持つならば、全体のグラフの彩色数がℓおよび近傍の有界値の関数として有界であることを示した。
• 5-穴と長い穴（≤ℓ）が存在しない場合、彩色数は(2ℓ−2)^{2^{ω(G)−1}−1}以下であることを示し、帰納的彩色と近傍構造の分析を用いた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長さℓより長い奇数の穴を含まない三角形を含まないグラフは、ℓの関数として彩色数が有界であるか？
• RQ2 5-サイクルのみを奇数の穴として持つ五角形グラフ（pentagonal graphs）の彩色数は有界であるか？ もしそうならば、その有界値は何か？
• RQ3 5-穴と長い穴（≤ℓ）が存在しない場合、彩色数はℓとクリーク数に依存する有界値を持つのか？
• RQ4 中心頂点からの距離レベルによる構造的分解は、彩色数の問題を有界な部分問題に還元できるか？
• RQ5 5-穴がなく、長さℓより長い穴がないグラフの彩色数の定量的有界値は何か？

主な発見

• すべての五角形グラフは58,000色で彩色可能であり、これはk=2かつℓ=5のときのGyárfásの予想の最初の未解決ケースに対する定量的有界値を提供する。
• すべてのℓに対して、十分に大きな彩色数を持つ三角形を含まないグラフは、5-穴または長さℓより長い奇数の穴を含む。
• すべての頂点の2-近傍が有界な彩色数を持つ限り、長さℓより長い奇数の穴を含まない三角形を含まないグラフの彩色数はℓの関数として有界である。
• 5-穴がなく、長さℓより長い穴がないグラフの彩色数は、(2ℓ−2)^{2^{ω(G)−1}−1}以下である。これはℓとクリーク数に依存するタイトな有界値である。
• 五角形グラフの有界値の証明は、そのようなグラフが大きな彩色数を持つ場合、すべての頂点の2-近傍の彩色数が5以下である誘導部分グラフを含むことを示すことに依存している。
• 論文は、予想1.2（長い穴なし）が5-穴のない三角形を含まないグラフにおいて成り立つことを示し、予想1.3（長い奇数の穴なし）が5-穴のない三角形を含まないグラフにおいて、与えられた有界値のもとで成り立つことを確立した。