[論文レビュー] Inducibility of d-ary trees

Éva Czabarka, Audace A. V. Dossou-Olory+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2018

Graph theory and applications参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、出次数が $d \geq 2$ で有界な根付き木（$d$-ary 樹）の誘導可能性を定義し、それらの研究を進めている。特に、葉に由来する部分木の漸近的最大密度に注目している。本稿では、任意の $d$ に対して二分キャタピラー木が $d$-ary 樹における最大誘導可能性 1 を達成することを示しており、厳密に $d$-ary 樹（非葉頂点がすべて $d$ 個の子を持つもの）においては、最大密度と誘導可能性の差が $\mathcal{O}(|T|^{-1/2})$ で減少することを証明している。これは一般の $\mathcal{O}(|T|^{-1})$ の境界を改善している。二分木の誘導可能性は $d$ に依存せず、一般の誘導可能性の下界が導出されている。

ABSTRACT

Imitating a recently introduced invariant of trees, we initiate the study of the inducibility of $d$-ary trees (rooted trees whose vertex outdegrees are bounded from above by $d\geq 2$) with a given number of leaves. We determine the exact inducibility for stars and binary caterpillars. For $T$ in the family of strictly $d$-ary trees (every vertex has $0$ or $d$ children), we prove that the difference between the maximum density of a $d$-ary tree $D$ in $T$ and the inducibility of $D$ is of order $\mathcal{O}(|T|^{-1/2})$ compared to the general case where it is shown that the difference is $\mathcal{O}(|T|^{-1})$ which, in particular, responds positively to an existing conjecture on the inducibility in binary trees. We also discover that the inducibility of a binary tree in $d$-ary trees is independent of $d$. Furthermore, we establish a general lower bound on the inducibility and also provide a bound for some special trees. Moreover, we find that the maximum inducibility is attained for binary caterpillars for every $d$.

研究の動機と目的

• 二分木における誘導可能性の概念を、各非葉頂点の子の数が 2 以上 $d$ 以下の $d$-ary 樹へと拡張すること。
• スターや二分キャタピラー木といった基本的な $d$-ary 樹構造の正確な誘導可能性を特定すること。
• 固定された $d$-ary 樹 $D$ がより大きな $d$-ary 樹 $T$ に現れる最大密度の漸近的挙動を分析し、誘導可能性への収束速度を定量化すること。
• 先行研究における二分木に関する予想を解決し、厳密に $d$-ary 樹の場合に最大密度と誘導可能性の差が $\mathcal{O}(|T|^{-1/2})$ であることを示すこと。
• $d$-ary 樹における木の誘導可能性が $d$ に依存するかどうか、特に非二分木の場合を調査すること。

提案手法

• $d$-ary 樹 $D$ の誘導可能性 $i_d(D)$ を、より大きな $d$-ary 樹 $T$ における $D$ の葉に由来する部分木の最大密度の上極限として定義する。
• 葉の部分集合の最小部分木をとり、度数 2 の頂点（根を除く）を削除することで、葉に由来する部分木の概念を導入する。
• 組合せ的境界と漸近的解析を用いて、$\mathcal{F}(S_1; S_2)$（$|S_1|$ 個の $S_2$ を根に接続して得られる木）の構造を活用し、一般の誘導可能性の下界を導出する。
• 極値的組合せ論と帰納法を用いて、$d^{k-2}$ 個を超える葉を持つ任意の $d$-ary 樹は、$k$ 個の葉を持つ二分キャタピラー $F^2_k$ を含むことを示し、重要な構造的結果を得る。
• フラグ代数に類似した推論と極限解析を用いて、厳密に $d$-ary 樹における $\mathcal{O}(|T|^{-1/2})$ の収束速度を導出する。
• 再帰的構成と密度比較を用いて、二分木 $D$ の $d$-ary 樹における誘導可能性が $d$ に依存しないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $d \geq 2$ に対して、$d$-ary 樹におけるスターや二分キャタピラー木の正確な誘導可能性は何か？
• RQ2 $d$-ary 樹 $D$ がより大きな $d$-ary 樹 $T$ に現れる最大密度とその誘導可能性の差は、$|T| \to \infty$ のときどのように減少するか？
• RQ3 二分木の $d$-ary 樹における誘導可能性は、先行研究の予想通り $d$ に依存しないのか？
• RQ4 どの $d$-ary 樹が誘導可能性 1 を最大に達成するのか？それらは二分キャタピラー木以外に存在するか？
• RQ5 非二分 $d$-ary 樹の誘導可能性は $d$ に依存するのか、それとも $d \geq 2$ の範囲で一定なのか？

主な発見

• 任意の $d \geq 2$ および $k \geq 2$ に対して、$k$ 個の葉を持つ二分キャタピラー木 $F^2_k$ の誘導可能性は $d$-ary 樹において正確に 1 であり、これは最大誘導可能性を達成する唯一の $d$-ary 樹である。
• 厳密に $d$-ary 樹（非葉頂点がすべて $d$ 個の子を持つもの）においては、$d$-ary 樹 $D$ が $T$ に現れる最大密度とその誘導可能性の差が $\mathcal{O}(|T|^{-1/2})$ で減少する。これは一般の $\mathcal{O}(|T|^{-1})$ の境界を改善している。
• 二分木 $D$ の $d$-ary 樹における誘導可能性は $d$ に依存せず、$i_d(D) = i_{d+1}(D) = \cdots$ がすべての $d \geq 2$ に対して成り立つ。これは先行研究の予想を確認している。
• 再帰的木構成と誘導部分木数の漸近的解析を用いて、$d$-ary 樹における誘導可能性の一般の下界を確立した。
• 最大誘導可能性は、$d$-ary 樹の中で二分キャタピラー木にのみ達成され、それ以外の $d$-ary 樹は誘導可能性 1 を達成しない。
• 非二分 $d$-ary 樹においては、誘導可能性が $d$ に依存する可能性があるという証拠が得られ、唯一二分木が $d$-独立な誘導可能性を持つという予想を支持する。