[論文レビュー] Induction Theorems and Isomorphism Conjectures for K- and L-Theory

Arthur Bartels, Wolfgang Lueck|ArXiv.org|Apr 27, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、有限群におけるDressの帰納定理を無限群へ拡張し、代数的K理論およびL理論におけるFarrell-Jones同型予想が、準素性を有する部分群の族からより小さい族（例えば超素性または基本的群）へ還元可能であることを証明する。主な結果として、係数環R（ℚまたはℂを含む正則環）に関して、群Gに対して同型予想が成り立つための必要十分条件が、超素性または基本的部分群の族における同型予想の成立に帰着されることを示しており、群環のK理論およびL理論の計算枠組みを著しく簡素化する。

ABSTRACT

The Farrell-Jones and the Baum-Connes Conjecture say that one can compute the algebraic K- and L-theory of the group ring and the topological K-theory of the reduced group C^*-algebra of a group G in terms of these functors for the virtually cyclic subgroups or the finite subgroups of G. By induction theory we want to reduce these families of subgroups to a smaller family, for instance to the family of subgroups which are either finite hyperelementary or extensions of finite hyperelementary groups with infinite cyclic kernel or to the family of finite cyclic subgroups. Roughly speaking, we extend the induction theorems of Dress for finite groups to infinite groups.

研究の動機と目的

• 有限群における古典的帰納定理をK理論およびL理論の文脈で無限群へ拡張すること。
• Farrell-Jones同型予想における準素性部分群の族を、超素性や基本的群などのより小さい、より取り扱いやすい族へ還元すること。
• 群Gに対して代数的K理論の同型予想が成り立つための条件を、より小さい部分群族における同型予想の成立と同値にすること。
• 準素性部分群に対するファイバリング同型予想が、特にNil群の消滅に関して、超素性帰納予想を含意するかどうかを検討すること。

提案手法

• 等変ホモロジーの推移性原理を用いて、異なる部分群族間のアセンブリーマップを比較する。
• スペクトル系列の議論を適用し、K理論ファンクターを係数とする分類空間のホモロジーを分析する。
• 相対的アセンブリーマップの概念を用い、その全単射性を中心的な技術的道具として証明する。
• 負のK群の消滅および余極限構造の分析を通じて、問題を有限群および準素性部分群へ還元する。
• ℤ_(p) ⊗_ℤ − を用いた局所化技術を活用し、予想のp局所版を研究する。
• 有限群のK理論に関する既知の結果（n ≤ -2 に対して K_n(ℤF) の消滅、および有限群におけるアセンブリーマップの全単射性）に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的K理論において、正則係数をもつFarrell-Jones同型予想において、準素性部分群の族を超素性部分群の族に置き換えても、予想の妥当性が変わらないか。
• RQ2 すべての群に対して、準素性部分群に対するファイバリング同型予想が、特にNil群の消滅に関して、超素性帰納予想を含意するか。
• RQ3 群Gに対して、係数環R（ℚまたはℂを含む）におけるK理論の同型予想が、その族が基本的（p-基本的）部分群族において成り立つための条件は何か。
• RQ4 超素性部分群族に制限した相対的アセンブリーマップが全単射であるかどうか、およびそれが完全な予想とどのように関係するか。
• RQ5 予想のp局所版は、準素性部分群族からp-超素性部分群族へ還元可能か。

主な発見

• 正則環R（ℚを含む）に対して、代数的K理論におけるFarrell-Jones同型予想が、準素性部分群族において成り立つための必要十分条件は、超素性部分群族において成り立つことである。
• 正則環R（ℂ ⊆ R）に対して、同型予想が準素性部分群族において成り立つための必要十分条件は、基本的（p-基本的）部分群族において成り立つことである。
• ℤ_(p) ⊗_ℤ − を適用した後、準素性部分群族のp局所版の予想は、p-超素性部分群族の予想と同値である。
• 超素性部分群族に対する相対的アセンブリーマップが全単射であるための必要十分条件は、準素性部分群族に対する完全な予想が成り立つことである。
• 負のK理論において、H_n^G(E_H G; K_ℤ) のn ≤ -2 における消滅およびn = -1 における colim_{G/H ∈ Or_H(G)} K_{-1}(ℤH) への同定により、低次の度において予想の妥当性が確認される。
• 正則性およびℚ ⊆ R の下で、canonical map colim_{G/H ∈ Or_H(G)} K_0(RH) → K_0(RG) が全単射であるための必要十分条件は、族Hに対して0次の同型予想が成り立つことである。