[論文レビュー] Inductive Definition and Domain Theoretic Properties of Fully Abstract Models for PCF and PCF

Vladimir Sazonov|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2007

Computability, Logic, AI Algorithms被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、逐次的および非決定的計算戦略に基づき、PCFおよびPCF+の完全抽象的モデルを段階的・階層的に構成する新規な手法を提示する。モデルがω-完備でないか、標準的dcposでないにもかかわらず、完全抽象性および、逐次的完備性、自然連続性、自然代数的性質といった重要なドメイン理論的性質が確立されている。

ABSTRACT

A construction of fully abstract typed models for PCF and PCF+ (i.e., PCF+ “parallel conditional function”), respectively, is presented. It is based on general notions of sequential computational strategies and wittingly consistent non-deterministic strategies introduced by the author in the seventies. Although these notions of strategies are old, the definition of the fully abstract models is new, in that it is given level-by-level in the finite type hierarchy. To prove full abstraction and non-dcpo domain theoretic properties of these models, a theory of computational strategies is developed. This is also an alternative and, in a sense, an analogue to the later game strategy semantics approaches of Abramsky, Jagadeesan, and Malacaria; Hyland and Ong; and Nickau. In both cases of PCF and PCF+ there are definable universal (surjective) functionals from numerical functions to any given type, respectively, which also makes each of these models unique up to isomorphism. Although such models are non-omega-complete and therefore not continuous in the traditional terminology, they are also proved to be sequentially complete (a weakened form of omega-completeness), “naturally” continuous (with respect to existing directed “pointwise”, or “natural” lubs) and also “naturally” omega-algebraic and “naturally” bounded complete—appropriate generalisation of the ordinary notions of domain theory to the case of non-dcpos.

研究の動機と目的

• PCFおよびPCF+の完全抽象的モデルを、有限型階層における段階的・階層的構成法で新たに開発すること
• これらのモデルの完全抽象性および非dcposのドメイン理論的性質を確立すること
• 標準的ドメイン理論的概念（例：ω-完備性、代数的性質）を、'自然'な完備性および連続性の概念を用いて、非dcposへ一般化すること
• 数値関数から任意の型へ至る定義可能で全射である汎用関数型の存在により、これらのモデルが同型を除いて一意的であることを示すこと

提案手法

• 著者の以前の研究における、逐次的および非決定的計算戦略の一般的概念を用いる
• 有限型階層において段階的にモデルを構成する
• 完全抽象性およびドメイン理論的性質を証明するため、計算戦略の新理論を構築する
• 標準的ドメイン理論的概念の一般化として、'自然'連続、'自然'ω-代数的、および'自然'有界完備構造を導入する
• 各モデルが、任意の型へ至る数値関数から定義可能な全射汎用関数型を有することを証明する
• 非dcposの文脈において、ω-完備性の弱体化としての逐次的完備性を確立する

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PCFおよびPCF+の完全抽象的モデルは、有限型階層における段階的・階層的アプローチによって構成可能か？
• RQ2 ω-完備でないか、標準的dcposでないモデルに対して、ドメイン理論的性質をどのように一般化できるか？
• RQ3 定義可能な汎用関数型は、モデルの同型を除いた一意性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 従来の連続性が欠如する状況において、計算戦略は完全抽象性をどのように支援するか？
• RQ5 非dcposモデルにおいて、'自然'な連続性および完備性とは何か？

主な発見

• 提示されたモデルは、PCFおよびPCF+の両方に対して完全抽象的である
• モデルはω-完備ではなく、従って従来の意味での連続的ではないが、逐次的完備である
• モデルは、既存の有向集合に対する「点ごとの」または「自然な」上限に対して、'自然'に連続である
• モデルは、標準的ドメイン理論的概念を非dcposへ一般化した形で、'自然'にω-代数的かつ'自然'に有界完備である
• 各モデルは、数値関数から任意の型へ至る定義可能な汎用関数型の存在により、同型を除いて一意的である
• 計算戦略の理論は、Abramsky、Hyland、Ongらの後続のゲーム的意味論の手法とは別個の代替的枠組みを提供する