[論文レビュー] Inductive limit algebras from periodic weighted shifts on Fock space

David W. Kribs|ArXiv.org|Nov 23, 2004

Advanced Operator Algebra Research参考文献 20被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、フォック空間上の非可換多変数重み付きシフトを導入し、フォック空間の木構造に基づく新しい周期性の概念を定義する。周期的シフトによって生成されるC*-代数が、クンツ＝トープリッツ代数上の全行列代数の帰納的極限と同型であることが示され、K理論と超自然数を用いたバーンス＝デッドンズおよびUHF代数に類似した分類定理が得られる。

ABSTRACT

Non-commutative multivariable versions of weighted shift operators arise naturally as `weighted' left creation operators acting on the Fock space Hilbert space. We identify a natural notion of periodicity for these $N$-tuples, and then find a family of inductive limit algebras determined by the periodic weighted shifts which can be regarded as non-commutative multivariable generalizations of the Bunce-Deddens C*-algebras. We establish this by proving that the C*-algebras generated by shifts of a given period are isomorphic to full matrix algebras over Cuntz-Toeplitz algebras. This leads to an isomorphism theorem which parallels the Bunce-Deddens and UHF classification scheme.

研究の動機と目的

• フォック空間上の周期的重み付きシフトを用いて、バーンス＝デッドンズC*-代数の非可換多変数一般化を構築すること。
• フォック空間上でのN個の重み付き左生成作用素のN重項に対して自然な周期性の概念を定義すること。
• 周期的重み付きシフトによって生成されるC*-代数を、クンツ＝トープリッツ代数上の行列代数の帰納的極限として特徴付けること。
• K理論を用いて、これらの代数の分類定理を確立し、UHFおよびバーンス＝デッドンズ代数の分類と類似させること。
• 擬三角的性の障害を用いて、これらの代数が近似的に有限次元的（AF）でないことを示すこと。

提案手法

• 自由半群𝔽⁺_N上のN個の非可換文字の自由生成の下で、正規直交基底{ξ_w}によって添字づけられるヒルベルト空間ℓ²(𝔽⁺_N)を基本空間として用いる。
• 重みが語長に依存する非可換重み付きシフトを、L_iξ_w = c_{|w|} ξ_{iw} として定義する。
• フォック空間の図的「木」表現を導入し、生成作用素の作用を視覚化し、レベルごとの均一な重みパターンを用いて周期性を定義する。
• 周期n_kの周期的シフトによって生成されるC*-代数が、M_d(N^{n_k}) ⊗ 𝒪_{N^{n_k}} と同型であることを示す。ここで d = d_{N,n_k} = (N^{n_k} - 1)/(N - 1) である。
• 増加する周期の上での帰納的極限構成を用いて代数ℬ(n_k)および𝒜(n_k)を定義し、クンツ代数のK理論を用いてそれらのK₀群を計算する。
• K₀(𝒪_N) = ℤ/(N−1)ℤ であることに着目し、K₀(ℬ(n_k)) = lim→ K₀(M_d(𝒪_{N^{n_k}})) = lim→ ℤ/(N^{n_k}−1)ℤ を得る。これにより、超自然数を用いた分類が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フォック空間上での非可換多変数重み付きシフトに対して、周期性を自然に定義する方法は何か？
• RQ2 フォック空間上での周期的N個の重み付き左生成作用素のN重項によって生成されるC*-代数の構造はどのようなものか？
• RQ3 このような代数はK理論を用いて分類可能か？もし可能であれば、UHFやバーンス＝デッドンズの既知の分類法とどのように比較できるか？
• RQ4 これらの代数は近似的に有限次元的（AF）か？
• RQ5 フォック空間の木構造は、重み付きシフトの周期性の定義および解析において果たす役割は何か？

主な発見

• 周期n_kの周期的重み付きシフトによって生成されるC*-代数は、クンツ＝トープリッツ代数𝒪_{N^{n_k}} 上の全行列代数の帰納的極限と同型である。
• 代数ℬ(n_k)のK₀群は、ℤ/(N^{n_k}−1)ℤの直接極限と同型であり、これは列{n_k}から構成される超自然数である。
• 2つの代数ℬ(n_k)とℬ(m_j)が同型であるための必要十分条件は、それらに付随する超自然数δ(n_k)とδ(m_j)が等しいことである。これにより、完全なK理論的分類が確立される。
• 左生成作用素L_iが擬三角的でないという事実により、これらの代数は近似的に有限次元的（AF）でないことが示された。
• 分類はバーンス＝デッドンズおよびUHF代数のスキームに類似しており、周期的インデックスから導かれる超自然数によって同型が決定される。
• 本結果は、フォック空間上の重み付きシフトを用いて、バーンス＝デッドンズ構成を非可換多変数設定に一般化したものである。