[論文レビュー] Inductive types in homotopy type theory

Steve Awodey, Nicola Gambino+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2012

Logic, programming, and type systems参考文献 24被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、計算規則における定義的等価性を命題的等価性に置き換えることで、ホモトピー型理論における弱いW型を導入する。これにより帰納型のホモトピー的解釈が可能となり、主な貢献は、これらの弱いW型が多項式ファンクターのホモトピー的初期代数に正確に対応することを示したことである。これにより、内省的型理論における同型に関しての一意性が回復される。

ABSTRACT

Homotopy type theory is an interpretation of Martin-Löf's constructive type theory into abstract homotopy theory. There results a link between constructive mathematics and algebraic topology, providing topological semantics for intensional systems of type theory as well as a computational approach to algebraic topology via type theory-based proof assistants such as Coq. The present work investigates inductive types in this setting. Modified rules for inductive types, including types of well-founded trees, or W-types, are presented, and the basic homotopical semantics of such types are determined. Proofs of all results have been formally verified by the Coq proof assistant, and the proof scripts for this verification form an essential component of this research.

研究の動機と目的

• 内省的型理論における帰納型の初期代数の意味論が崩壊する問題に対処する。特に、再帰的に定義された関数の一意性を証明できないこと。
• W型の計算規則における定義的等価性を命題的等価性に置き換えることで、帰納型のホモトピー的整合性のある意味論を構築する。
• 弱いW型が多項式ファンクターのホモトピー的初期代数に正確に対応することを確立し、ホモトピー的設定において構造的性質を回復する。
• Coqにおいてすべての展開を形式化し、正しさを保証するとともに、ユニバーサル基礎プログラムを支援する。
• ホモトピー型理論における一般の帰納型および高階帰納型への理論の拡張に向けた基盤を築く。

提案手法

• 計算規則における定義的等価性を命題的等価性に置き換えることで、標準的なW型の規則を変更し、弱いW型を導入する。
• ホモトピーの下で準同型がホモトピーに関して一意となる代数として、ホモトピー的初期代数を定義する。これは、ホモトピー理論における初期代数概念の一般化である。
• 関数の拡張性を弱い原理として用い、型チェックの決定不能性を避けるために、関数の一意性をホモトピーに関して導出する。
• Coqを用いてすべての定義と証明を形式化し、内省的型理論およびユニバーサル基礎のサポートを活用する。
• 自然数型と第二数列を弱いW型として構成し、それらがホモトピー的初期代数構造をサポートすることを示す。
• 型 $\mathsf{0} \to X$ と $\mathsf{1}$、および $\mathsf{1} \to X$ と $X$ の間の随伴ホモトピー同値を適用し、命題的計算規則の検証を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 内省的型理論における帰納型に、再帰的に定義された関数の一意性を回復するホモトピー的整合性のある意味論を提供できるか？
• RQ2 弱いW型が多項式ファンクターのホモトピー的初期代数に対応するようにするため、W型の規則に必要な変更は何か？
• RQ3 Coqのような証明支援器において、帰納型の命題的計算規則を形式的に検証できるか。同時に計算的適切性を保持できるか？
• RQ4 標準的な帰納型、たとえば自然数型や第二数列は、このホモトピー的設定において弱いW型として再構成可能か？
• RQ5 弱いW型の理論は、ホモトピー型理論における一般の帰納型および高階帰納型へどの程度まで拡張可能か？

主な発見

• 命題的計算規則を用いて定義された弱いW型は、多項式ファンクターのホモトピー的初期代数として正確に特徴づけられる。
• 自然数型 $\mathsf{Nat}$ は弱いW型として定義可能であり、多項式ファンクター $P(X) = \mathsf{1} + X$ に対してh初期代数構造をサポートする。
• 第二数列は、多項式ファンクター $P(X) = \mathsf{1} + X + (\mathsf{Nat} \to X)$ に対応する弱いW型として表現可能であり、形式的なCoqによる検証が提供されている。
• 随伴ホモトピー同値の使用により、$\mathsf{Nat}$ における命題的計算規則の検証が可能となり、ホモトピー的意味論の支援が得られる。
• すべての結果、すなわち定義と証明がCoqで形式的に検証されており、証明スクリプトは公開リポジトリで入手可能である。
• この枠組みは、一般の帰納型および高階帰納型への拡張をサポートしており、ユニバーサル基礎および計算的代数的トポロジーの基盤を形成する。