[論文レビュー] Inequalities for generalized trigonometric and hyperbolic sine functions

Miao-Kun Wang, Yu-Ming Chu+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2012

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、一般化された三角関数および双曲線正弦関数に関する2つの鋭い不等式を証明する：$\sigma_{p,q}(\sqrt{rs}) \geq \sqrt{\sigma_{p,q}(r)\sigma_{p,q}(s)}$ および $\sinh_{p,q}(\sqrt{r^*s^*}) \leq \sqrt{\sinh_{p,q}(r^*)\sinh_{p,q}(s^*)}$（$p,q > 1$ および適切な定義域）。著者らは、逆関数の単調性解析と対数微分を用いてこれらを確立し、BhayoとVuorinenの予想を解決し、古典的不等式を一般化された$(p,q)$フレームワークに拡張する。

ABSTRACT

We prove that the inequalities $\sin_{p,q}(\sqrt{rs})\geq \sqrt{\sin_{p,q}(r)\sin_{p,q}(s)}$ and $\sinh_{p,q}(\sqrt{r^*s^*}) \leq \sqrt{\sinh_{p,q}(r^*)\sinh_{p,q}(s^*)}$ hold for all $p,q\in(1,\infty)$, $r,s\in(0,\int_{0}^{1}(1-t^q)^{-1/p}dt)$ and $r^*,s^*\in(0,\int_{0}^{\infty}(1+t^q)^{-1/p}dt)$, where $\sin_{p,q}$ and $\sinh_{p,q}$ are the generalized trigonometric and hyperbolic sine functions, respectively. As a consequence of the results, we prove a conjecture due to Bhayo and Vuorinen [J. Approx. Theory, 164(2012)].

研究の動機と目的

• BhayoとVuorinen（2012年）が提起した、一般化された三角関数および双曲線正弦関数を含む関数的不等式に関する予想を解決すること。
• 幾何平均の引数を用いた $\sin_{p,q}$ および $\sinh_{p,q}$ に対する鋭い不等式を確立すること。
• 古典的不等式（Mitrinović-AdamovićおよびLazarević）を一般化された$(p,q)$-関数フレームワークに拡張すること。
• 微分不等式を用いた逆関数 $\arcsin_{p,q}$ および $\mathrm{arcsinh}_{p,q}$ の単調性特性を分析すること。
• 積分表現および特殊関数論を用いた、一般化された正弦関数および双曲線正弦関数の統一的取り扱いを提供すること。

提案手法

• 有理関数を用いて $\arcsin_{p,q}(x)$ の下界を導出し、導関数解析によりそれが厳密に上回られることを証明する。
• 有理式を用いて $\frac{x}{\mathrm{arcsinh}_{p,q}(x)}$ の上界を確立し、$p$ および $q$ に関する場合分けを用いて検証する。
• 対数平均型関数 $H_{p_1}(x,y)$ を定義し、$J(x,y)$ の比の対数微分を用いてその単調性を分析する。
• 双曲線ケースにおける $\mathrm{arcsinh}_{p,q}$ を含む比 $J^*(x,y)$ に対して対数微分を適用し、単調性を分析する。
• 対数導関数から得られる $F(x)$ および $F^*(x)$ の単調性を用いて、$J$ および $J^*$ が増加または減少する条件を特定する。
• それぞれ $x = \sin_{p,q}(r)$, $y = \sin_{p,q}(s)$ および $x = \sinh_{p,q}(r^*)$, $y = \sinh_{p,q}(s^*)$ と代入することで、逆関数 $\sin_{p,q}$ および $\sinh_{p,q}$ に結果を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $p,q > 1$ および $r,s \in (0, \pi_{p,q}/2)$ に対して、不等式 $\sin_{p,q}(\sqrt{rs}) \geq \sqrt{\sin_{p,q}(r)\sin_{p,q}(s)}$ が成り立つか？
• RQ2 すべての $p,q > 1$ および $r^*,s^* \in (0, m_{p,q}^*)$ に対して、不等式 $\sinh_{p,q}(\sqrt{r^*s^*}) \leq \sqrt{\sinh_{p,q}(r^*)\sinh_{p,q}(s^*)}$ が成り立つか？
• RQ3 積分および単調性手法を用いて、BhayoとVuorinenの一般化された正弦および双曲線正弦関数に関する不等式の予想を確認できるか？
• RQ4 比関数 $J(x,y)$ および $J^*(x,y)$ の単調性を保証するための、べき平均パラメータ $p_1$ または $p_2$ の条件は何か？
• RQ5 $x \to 0$ および $x \to \infty$ における $\arcsin_{p,q}(x)$ および $\mathrm{arcsinh}_{p,q}(x)$ の漸近的挙動が、導出された不等式にどのように影響するか？

主な発見

• すべての $p,q > 1$ および $r,s \in (0, \pi_{p,q}/2)$ に対して不等式 $\sin_{p,q}(\sqrt{rs}) \geq \sqrt{\sin_{p,q}(r)\sin_{p,q}(s)}$ が成り立ち、等号が成り立つのは $r = s$ の場合に限る。
• すべての $p,q > 1$ および $r^*,s^* \in (0, m_{p,q}^*)$ に対して不等式 $\sinh_{p,q}(\sqrt{r^*s^*}) \leq \sqrt{\sinh_{p,q}(r^*)\sinh_{p,q}(s^*)}$ が成り立ち、等号が成り立つのは $r^* = s^*$ の場合に限る。
• 著者らは $\arcsin_{p,q}(x)$ の鋭い下界を証明した：$x \in (0,1)$ に対して $\arcsin_{p,q}(x) > \frac{px(1-x^q)^{1-1/p}}{(q-p)x^q + p}$。
• 比 $\frac{x}{\mathrm{arcsinh}_{p,q}(x)}$ の鋭い上界が確立された：$x \in (0,\infty)$ に対して $\frac{x}{\mathrm{arcsinh}_{p,q}(x)} > \frac{(p-q)x^q + p}{p(1+x^q)^{1-1/p}}$。
• 積分 $m_{p,q}^* = \int_0^\infty (1+t^q)^{-1/p} dt > 1$ が証明され、$\sinh_{p,q}$ の定義域が不等式が意味を持つ十分な大きさであることが保証された。
• 対数微分および $F(x)$ と $F^*(x)$ の単調性に基づく証明手法により、BhayoとVuorinenの予想が確認され、$p,q > 1$ の全パラメータ範囲にまで拡張された。