[論文レビュー] Inf-convolution and optimal risk sharing with arbitrary sets of risk measures

Marcelo Brutti Righi|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2020

Risk and Portfolio Optimization被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、凸重みを確率測度に一般化することで、リスク尺度のインフィミウム畳み込みを任意（非可算）の集合へ拡張し、金融・保険分野における最適リスク共有および一般均衡の統一的枠組みを可能にする。主な貢献は、本質的なリスク尺度の性質を保ちつつ、任意のリスク尺度集合において最適配分を可能にする、双対性に基づく厳密な理論である。

ABSTRACT

The inf-convolution of risk measures is directly related to risk sharing and general equilibrium, and it has attracted considerable attention in mathematical finance and insurance problems. However, the theory is restricted to finite (or at most countable in rare cases) sets of risk measures. In this study, we extend the inf-convolution of risk measures in its convex-combination form to an arbitrary (not necessarily finite or even countable) set of alternatives. The intuitive principle of this approach is to regard a probability measure as a generalization of convex weights in the finite case. Subsequently, we extensively generalize known properties and results to this framework. Specifically, we investigate the preservation of properties, dual representations, optimal allocations, and self-convolution.

研究の動機と目的

• 有限または可算集合に限らない、任意の集合へのリスク尺度のインフィミウム畳み込みの一般化を図ること。
• 任意の集約においてリスク尺度の主要な性質を保つ双対性フレームワークの確立。
• 非可算個のリスク尺度の選択肢がある状況において、最適リスク共有および一般均衡分析を可能にすること。
• 無限集合における一般化された凸重みとしての確率測度の役割を形式化すること。
• 拡張されたフレームワークにおける自己畳み込みおよび双対表現の調査。

提案手法

• 有限インフィミウム畳み込みにおける凸結合を、確率測度に関する積分に一般化し、連続的重みとして扱う。
• 確率測度に関する積分表現を用いて、任意のリスク尺度族のインフィミウム畳み込みを定義する。
• 双対性理論を用いて、共役関数および支援集合を用いたインフィミウム畳み込みリスク尺度の表現を導出する。
• 凸性、キャッシュ不変性、単調性などの性質が、一般化されたインフィミウム畳み込みのもとでどのように保存されるかを特徴付ける。
• 無限集合における最適配分が存在し、かつ一意であるための条件を確立する。
• 一般族におけるリスク尺度自身とのインフィミウム畳み込みを検討することにより、自己畳み込みを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リスク尺度のインフィミウム畳み込みは、有限集合から任意（非可算）集合への一貫した拡張が可能か？
• RQ2 リスク尺度集約の文脈において、確率測度が凸重みを一般化する役割を果たすか？
• RQ3 凸性、キャッシュ不変性などのリスク尺度の基本的性質が、この一般化されたインフィミウム畳み込みでどのように保存されるか？
• RQ4 無限次元的設定において、最適リスク配分が存在する条件は何か？
• RQ5 一般化されたフレームワークにおけるインフィミウム畳み込みリスク尺度の双対表現は、どのように振る舞うか？

主な発見

• 確率測度に関する積分を用いて定義された一般化されたインフィミウム畳み込みは、凸性、キャッシュ不変性、単調性といったリスク尺度の核心的性質を保つ。
• インフィミウム畳み込みリスク尺度の双対表現が確立され、個々のリスク尺度の共役関数と関連づけられる。
• ややいなごろの正則性条件下で、最適リスク配分はインフィミウム畳み込みリスク尺度の劣微分によって特徴づけられる。
• 自己畳み込みは一般化されたフレームワークにおいても適切に定義されており、有限の場合と同様の構造的性質を保持する。
• 確率測度を連続的重みとして用いることは、数学的に整合的かつ金融的に意味のある方法で、有限凸結合設定を一般化する。
• 無限個の参加者や金融商品を含む文脈において、リスク尺度の集約を可能にするため、一般均衡分析を支援するフレームワークを提供する。