[論文レビュー] Inference for Gaussian Processes with Matérn Covariogram on Compact Riemannian Manifolds

Didong Li, Wenpin Tang+1 more|PubMed|Apr 8, 2021

Soil Geostatistics and Mapping参考文献 53被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、コンパクトなリーマン多様体上のガウス過程にマテرن共分散関数を適用した場合の漸近的推論理論を確立し、ラプラシアン–ベルトラミ作用素の固有値・固有関数の性質を活用する。最大尤度推定の一致性と最良線形不偏予測（BLUP）の漸近的最適性を証明し、微小エルゴード的パラメータを明示的に同定し、円多様体上での理論的検証を実施する。

ABSTRACT

Gaussian processes are widely employed as versatile modelling and predictive tools in spatial statistics, functional data analysis, computer modelling and diverse applications of machine learning. They have been widely studied over Euclidean spaces, where they are specified using covariance functions or covariograms for modelling complex dependencies. There is a growing literature on Gaussian processes over Riemannian manifolds in order to develop richer and more flexible inferential frameworks for non-Euclidean data. While numerical approximations through graph representations have been well studied for the Matérn covariogram and heat kernel, the behaviour of asymptotic inference on the parameters of the covariogram has received relatively scant attention. We focus on asymptotic behaviour for Gaussian processes constructed over compact Riemannian manifolds. Building upon a recently introduced Matérn covariogram on a compact Riemannian manifold, we employ formal notions and conditions for the equivalence of two Matérn Gaussian random measures on compact manifolds to derive the parameter that is identifiable, also known as the microergodic parameter, and formally establish the consistency of the maximum likelihood estimate and the asymptotic optimality of the best linear unbiased predictor. The circle is studied as a specific example of compact Riemannian manifolds with numerical experiments to illustrate and corroborate the theory.

研究の動機と目的

• ユークリッド空間の仮定が成り立たない非ユークリッドな文脈において、コンパクトなリーマン多様体上に定義されたマテルン共分散関数を有するガウス過程の厳密な漸近的推論フレームワークを構築すること。
• 多様体上でのガウス測度の同等性条件下で、マテルン共分散関数における微小エルゴード的パラメータを同定すること。
• 非ユークリッドな文脈において、最大尤度推定の一致性と最良線形不偏予測（BLUP）の漸近的最適性を形式的に確立すること。
• 円多様体という代表的なコンパクトなリーマン多様体上で、理論的結果を数値実験により検証すること。
• 特に平坦でない幾何構造を有する文脈において、数値的近似と形式的統計的推論のギャップを埋めること。

提案手法

• 著者らは、コンパクトなリーマン多様体上でのラプラシアン–ベルトラミ作用素のスペクトル分解を用い、固有関数と固有値を介して有効なマテルン共分散関数を定義する。
• ガウス測度の同等性に関する形式的条件を適用し、漸近的同定可能性を支配する微小エルゴード的パラメータを導出する。
• 正則性条件の下で、標本分散の概収束と測度の同等性を用いて、最大尤度推定の一致性を確立する。
• 予測誤差分散の解析を通し、理論的最小値への収束を示すことにより、BLUPの漸近的最適性を証明する。
• 数値的近似のため、共分散関数の切断級数表現を用い、尾部和の$L^2$ノルムによる誤差バウンドを導出する。
• Narcowichら（1998）の結果を用いて、共分散行列の最小固有値に関する理論的バウンドを導出し、切断共分散行列の正定値性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトなリーマン多様体上でのマテルン共分散関数において、漸近的サンプリング下で同定可能なパラメータは何か？
• RQ2 マテルンパラメータの最大尤度推定は、どのような条件下で一貫性を示すか？
• RQ3 非ユークリッド領域におけるガウス過程に対して、最良線形不偏予測は漸近的に最適か？
• RQ4 統計的性質を保ちながら、多様体上でのマテルン共分散関数をどのように数値的に近似できるか？
• RQ5 ラプラシアン–ベルトラミスペクトルは、多様体上でのマテルン過程の定義と推論において果たす役割は何か？

主な発見

• 測度の同等性条件下で、コンパクトなリーマン多様体上でのマテルン共分散関数における微小エルゴード的パラメータは、分散と滑らかさパラメータの逆数の積として明示的に同定される。
• 微小エルゴード的パラメータの最大尤度推定は一貫性を示し、真の測度下で標本分散が概収束することを示す。
• 最良線形不偏予測は漸近的に最適性を達成し、真のモデル下で予測誤差分散が理論的最小値に収束することが確認された。
• 円多様体上では、数値実験により理論的一致性と最適性が確認され、サンプルサイズが増加するに従い予測誤差が減少した。
• 共分散関数の切断級数近似は、$O(L^{-2 u})$ の誤差で一様収束し、$L$ は切断レベル、$ u$ は滑らかさパラメータである。
• 十分に大きな $L$ に対して、共分散行列の最小固有値はゼロから離れて保たれ、近似共分散行列の正定値性が保証される。