[論文レビュー] Inference for log Gaussian Cox processes using an approximate marginal posterior

Shinichiro Shirota, Alan E. Gelfand|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2016

Soil Geostatistics and Mapping参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、空間的ロジスティック・ガウス過程（LGCP）における効率的な推論のため、ハイパーパrameterの近似周辺事後分布を推定するためにラプラシアン近似を用いた擬似周辺MCMCアルゴリズムを提案する。潜在ガウス過程とハイパーパrameterを分離し、適応的チューニングと固定されたフィッシャー情報量の近似を採用することで、特に細粒度の離散化において、標準的なMCMCに比べて混合速度が向上し、計算コストが低減される。

ABSTRACT

The log Gaussian Cox process is a flexible class of point pattern models for capturing spatial and spatio-temporal dependence for point patterns. Model fitting requires approximation of stochastic integrals which is implemented through discretization of the domain of interest. With fine scale discretization, inference based on Markov chain Monte Carlo is computationally heavy because of the cost of repeated iteration or inversion or Cholesky decomposition (cubic order) of high dimensional covariance matrices associated with latent Gaussian variables. Furthermore, hyperparameters for latent Gaussian variables have strong dependence with sampled latent Gaussian variables. Altogether, standard Markov chain Monte Carlo strategies are inefficient and not well behaved. In this paper, we propose an efficient computational strategy for fitting and inferring with spatial log Gaussian Cox processes. The proposed algorithm is based on a pseudo-marginal Markov chain Monte Carlo approach. We estimate an approximate marginal posterior for parameters of log Gaussian Cox processes and propose comprehensive model inference strategy. We provide details for all of the above along with some simulation investigation for the univariate and multivariate settings. As an example, we present an analysis of a point pattern of locations of three tree species, exhibiting positive and negative interaction between different species.

研究の動機と目的

• ハイパーパrameterと潜在変数の強い依存性により、標準的MCMCが混合が悪く収束が遅くなる問題を克服する。
• 高次元の潜在ガウス過程におけるMCMCの計算負荷（繰り返しのコレスキー分解と行列逆行列計算）を軽減する。
• 計算コストを低減しながらも精度を維持する、単変量および多変量LGCPのスケーラブルな推論戦略を開発する。
• 種間相互作用データのような複雑な依存構造を持つ空間的および時空間的点プロセスの実用的ベイズ推論を可能にする。
• ラプラシアン近似を用いてハイパーパrameterの周辺事後分布を近似し、高次元の潜在変数の直接サンプリングを回避することで、サンプリング効率を向上させる。

提案手法

• 高次元の潜在ガウス過程の直接サンプリングを避けるために、ハイパーパrameterの近似周辺事後分布を標的とする擬似周辺MCMCフレームワークを用いる。
• 潜在変数とハイパーパrameterの同時事後分布に対してラプラシアン近似を適用し、ハイパーパrameterの周辺事後分布の扱いやすい近似を得る。
• MCMC反復処理中に、潜在フィールドνのフィッシャー情報行列の逆行列を固定することで、高価な再計算を回避するが、回帰係数βおよび依存パラメータζについては更新を行う。
• ステップサイズのチューニングを不要とし、ランダムウォーク行動を低減するため、潜在ガウス過程νの効率的サンプリングに楕円スライスサンプリングを採用する。
• 回帰係数βおよび依存パラメータζのサンプリングに、フィッシャー情報から導かれる前処理行列を用いた多様体MALA（MMALA）を用い、混合を改善する。
• 勾配降下法による最尤事後確率（MAP）推定とζの最小対照推定を用いて初期パラメータを設定し、収束の安定性を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 細粒度の離散化と高次元の潜在ガウス過程を伴う空間的LGCPのMCMC推論を、どのようにして計算的に効率化できるか？
• RQ2 潜在フィールドνの逆フィッシャー情報行列を固定することで、LGCPのMCMCサンプリングにおける混合速度と計算コストにどの程度の改善が得られるか？
• RQ3 ラプラシアン近似に基づく擬似周辺アプローチは、高次元の潜在変数の直接サンプリングを回避しつつ、LGCPハイパーパrameterの正確な事後推論を達成できるか？
• RQ4 多変量および単変量LGCPモデルにおいて、提案手法は標準的MCMCおよびINLAベースの手法と比較して、性能と精度で優れているか？
• RQ5 適応的チューニングと成分別サンプリング戦略は、複雑な空間的依存構造を有するLGCPモデルにおける収束性と混合にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 固定されたフィッシャー情報行列を用いた擬似周辺MCMCは、高次元共分散行列の繰り返し逆行列計算を回避することで、計算コストを顕著に低減する。
• 潜在フィールドνの逆フィッシャー情報行列を固定し、βおよびζについては更新することで、MCMCチェーンの収束が速まり、混合が改善される。
• νのサンプリングに楕円スライスサンプリングを用いることで、ステップサイズのチューニングが不要となり、ランダムウォークメトロポリス＝ハスティングスに比べてサンプリング効率が向上する。
• ハイパーパrameterの事後推論が正確に達成されており、シミュレーションスタディにおいても、例えば図5および図6のφ = 1およびφ = 5の状況で、事後密度が真の値をよく追跡している。
• σ₀²の適応的チューニングにより、受容率が0.574に達するようにすることで、手動のキャリブレーションなしにパラメータ空間の効率的探索が可能になる。
• 単変量および多変量LGCPの両方において、スケーラブルで効果的であることが示されており、正および負の相互作用を示す3種の樹木のデータ解析を通じて裏付けられている。