[論文レビュー] Inference of termination conditions for numerical loops

Alexander Serebrenik, Danny De Schreye|ArXiv.org|Jun 26, 2001

Logic, programming, and type systems参考文献 21被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、従来のレベルマッピング手法の限界を克服するために、数値解析を受容性フレームワークに統合することで、論理プログラムにおける数値的ループの終了条件を推論する、新しい変換ベースの手法を提示する。この手法により、整数計算（例えば再帰的算術述語など）の自動的かつ正しく整合性のある終了解析が可能となり、数値的パラメータに応じて減少するwell-foundedなレベルマッピングを定義することで、従来の制約ベースの終了解析手法に、数値的および記号的計算の組み合わせを完全にサポートする拡張がなされる。

ABSTRACT

We present a new approach to termination analysis of numerical computations in logic programs. Traditional approaches fail to analyse them due to non well-foundedness of the integers. We present a technique that allows to overcome these difficulties. Our approach is based on transforming a program in way that allows integrating and extending techniques originally developed for analysis of numerical computations in the framework of query-mapping pairs with the well-known framework of acceptability. Such an integration not only contributes to the understanding of termination behaviour of numerical computations, but also allows to perform a correct analysis of such computations automatically, thus, extending previous work on a constraints-based approach to termination. In the last section of the paper we discuss possible extensions of the technique, including incorporating general term orderings.

研究の動機と目的

• 整数の非well-founded性のため、従来のレベルマッピング手法が失敗する状況においても、論理プログラムにおける数値的計算の終了条件を自動的に推論する課題に対処すること。
• 整数算術を含むプログラムにおける終了の正しく自動的な推論を可能にするために、well-establishedな受容性フレームワークに数値的終了解析を統合すること。
• 従来の制約ベースの終了解析手法を、数値的計算を扱えるように拡張するとともに、記号的計算の解析能力を保持すること。
• アッケルマン関数や 'ground' や 'numbervars' のような標準Prologライブラリ述語を含む、複雑な例に対しても終了推論を可能にする、形式的かつ実用的な手法を提供すること。

提案手法

• 原子を自然数にマッピングするレベルマッピングを可能にするために、論理プログラムを変換し、数値的パラメータに基づいてマッピングが行われ、well-foundedな減少が保証されるようにする。
• 制約ベースのアプローチを用いて、数値変数に沿って減少するレベルマッピングを推論する。例えば、X < 7 の場合に p(X) を 7−X にマッピングする。
• クエリ・マッピング・ペアの形式的定式化を受容性フレームワークと統合し、相互再帰および数値的依存関係をサポートする。
• 複雑な終了証明のためのwell-founded順序を定義するために、自然数のペア（例：(サイズ, 算術的値)）の辞書式順序を用いる。
• 合成レベルマッピングを用いた項の受容性を適用し、1つのwell-founded順序内で記号的および数値的推論を統合する。
• 既存の制約解法技術を活用して、終了条件の推論を自動化し、Decorteら [9] のようなツールへの統合を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数の非well-founded性のため、標準的なレベルマッピング手法が失敗するような、論理プログラムにおける数値的ループの終了条件を、どのように自動的に推論できるか？
• RQ2 数値的終了解析を正式に受容性フレームワークに統合できるか。特に、相互再帰および複雑な算術的依存関係をサポートできるか？
• RQ3 本手法は、'アッケルマン' や 'numbervars' のような、記号的および数値的計算を組み合わせたプログラムを、どの程度正しく解析できるか？
• RQ4 特定のクエリ制約（例：X < 7 のときの p(X)）の下でのみ終了するプログラムの終了条件を、本手法は推論できるか？

主な発見

• 提案された変換により、p(X) ← X<7, X1 is X+1, p(X1) のようなプログラムの正しく整合性のある終了解析が可能となり、X<7 の場合に |p(X)| = 7−X というレベルマッピングを定義することで、各再帰呼び出しで減少が保証される。
• GCD、mod、およびアッケルマン関数といった例についても、線形結合に依存する従来の制約ベースのアプローチでは処理できないが、本手法により正常に解析可能である。
• 合成レベルマッピングにおける辞書式順序を用いた数値的および記号的推論の統合により、'ground'、'unify'、'numbervars' のような複雑な述語についての終了証明が可能となった。
• 本フレームワークは、終了条件の自動推論をサポートし、Decorteら [9] のようなツールを、精度や整合性の損なわれない形で数値的計算を処理できるように拡張する。
• 本手法は理論的にも整合的であり、実用的にも有効であり、推論パイプラインで制約解法技術を活用しているため、高い効率性を有する可能性を秘めている。